《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. (教材 P16 例 4·变式)通过变形将二次函数 $ y= x^{2}-8x-9 $化为 $ y= a(x-m)^{2}+k $的形式为(B).
A.$ y= (x-4)^{2}+7 $
B.$ y= (x-4)^{2}-25 $
C.$ y= (x+4)^{2}+7 $
D.$ y= (x+4)^{2}-25 $

答案： B [解析] y=x²−8x−9=x²−8x+16−16−9=(x−4)²−25. 故选B.

2. (2025·上海徐汇区一模)“数形结合”是研究函数的重要思想方法,如果抛物线 $ y= x^{2}+2x+m+5 $只经过两个象限,那么 $ m $的取值范围是(A).
A.$ m \geq -4 $
B.$ m ＜ -4 $
C.$ m ＜ -5 $
D.$ m \geq -5 $

答案： A [解析]
∵y=x²+2x+m+5=(x+1)²+m+4,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=−1,顶点坐标为(−1,m+4).
∵抛物线y=x²+2x+m+5只经过两个象限,
∴m+4≥0,
∴m≥−4. 故选A.
一题多解
∵y=x²+2x+m+5,
∴a=1＞0,
∴抛物线开口向上.
∵抛物线只经过两个象限,
∴抛物线经过一、二象限,
∴抛物线与x轴最多一个交点,即当y=0时,Δ≤0,
∴4−4(m+5)≤0,解得m≥−4. 故选A.

3. (2025·湖湖南浔区期中)已知二次函数 $ y= ax^{2}+bx+c $,其中 $ a ＜ 0,b ＜ 0,c ＞ 0 $,则该二次函数图象大致是(B).

答案： B [解析]
∵二次函数y=ax²+bx+c,a＜0,b＜0,c＞0,
∴该函数图象开口向下,对称轴在y轴的左侧,与y轴交于正半轴. 故选B.

4. 将抛物线 $ y= -3x^{2}+x+1 $向右平移 2 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度,则平移后抛物线的函数表达式为y=−3x²+13x−17.

答案： y=−3x²+13x−17

5. 已知二次函数 $ y= x^{2}-4x+3a+2 $(a 为常数).
(1)请写出该二次函数的三条性质;
(2)在同一平面直角坐标系中,若该二次函数的图象在 $ x \leq 4 $的部分与一次函数 $ y= 2x-1 $的图象有两个交点,求 $ a $的取值范围.

答案：
(1)
∵二次函数y=x²−4x+3a+2=(x−2)²+3a−2,
∴该二次函数开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,3a−2),其性质有:①开口向上;②有最小值3a−2;③对称轴为直线x=2. (答案不唯一)
(2)x²−4x+3a+2=2x−1,整理,得x²−6x+3a+3=0.
∴Δ =36−4(3a+3)＞0,解得a＜2.把x=4代入y=2x−1,解得y=2×4−1=7,把(4,7)代入y=x²−4x+3a+2,得7=16−16+3a+2,解得a =$\frac{5}{3}$. 故a的取值范围为$\frac{5}{3}$≤a＜2.

6. (2024·杭州余杭区期中)已知二次函数 $ y= ax^{2}+bx+c(a \neq 0,a,b,c $是常数)的部分自变量 $ x $与函数 $ y $的对应值如下表所示:
| $ x $ | -1 | $ -\frac{1}{2} $ | 0 | $ \frac{1}{2} $ | 1 | $ \frac{3}{2} $ | 2 | $ \frac{5}{2} $ | 3 |
| $ y $ | -2 | $ -\frac{1}{4} $ | 1 | $ \frac{7}{4} $ | 2 | $ \frac{7}{4} $ | 1 | $ -\frac{1}{4} $ | -2 |

则方程 $ ax^{2}+bx+c= 0(a \neq 0,a,b,c $是常数)的两个根 $ x_{1},x_{2} $的取值范围是( D ).
A.$ -\frac{1}{2} ＜ x_{1} ＜ 0,\frac{3}{2} ＜ x_{2} ＜ 2 $
B.$ -1 ＜ x_{1} ＜ -\frac{1}{2},2 ＜ x_{2} ＜ \frac{5}{2} $
C.$ -1 ＜ x_{1} ＜ -\frac{1}{2},\frac{3}{2} ＜ x_{2} ＜ 2 $
D.$ -\frac{1}{2} ＜ x_{1} ＜ 0,2 ＜ x_{2} ＜ \frac{5}{2} $

答案： D [解析] 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的两个根为x₁,x₂,根据现有的条件确定x₁,x₂的取值范围,即求y=0时,x的取值范围,
∴当−$\frac{1}{2}$＜x₁＜0,2＜x₂＜$\frac{5}{2}$时,y的值最接近0. 故选D.

7. (2025·杭州上城区期末)若抛物线 $ L:y= x^{2}+bx+3 $经过点 $ P(1,n) $,则下列各点,必在抛物线 $ L $上的是(D).
A.$ (-1,n) $
B.$ (-1,-n) $
C.$ (b-1,n) $
D.$ (-b-1,n) $

答案： D [解析]
∵抛物线y=x²+bx+3的图象关于x=−$\frac{b}{2a}$=−$\frac{b}{2}$对称,且经过点(1,n),
∴点(1,n)关于x=−$\frac{b}{2}$对称的点(−b−1,n)必在抛物线L上. 故选D.

8. (2024·嘉兴平湖期末)将二次函数 $ y= x^{2}-2x-3 $的图象先向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,得到二次函数 $ y_{1} $的图象,则函数 $ y_{1} $的表达式是(D).
A.$ y_{1}= x^{2}-6 $
B.$ y_{1}= x^{2}-2 $
C.$ y_{1}= x^{2}-4x-2 $
D.$ y_{1}= x^{2}-4x+2 $

答案： D [解析] y=x²−2x−3=(x−1)²−4,其图象先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到y₁=(x−1−1)²−4+2=(x−2)²−2=x²−4x+2的图象. 故选D.

9. 新情境 探究小球飞行路线 (2025·江苏南通崇川区期末)以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 $ 30^{\circ} $角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度 $ h $(单位:m)与飞行时间 $ t $(单位:s)之间具有函数关系 $ h= 20t-5t^{2} $,下列说法正确的是(D).
A.小球的飞行高度为 15 m 时,小球飞行的时间是 1 s
B.小球飞行 3 s 时飞行高度为 15 m,并将继续上升
C.小球的飞行高度可以达到 25 m
D.小球从飞出到落地要用 4 s

答案： D [解析] 当h=15时,20t−5t²=15,解得t₁=1,t₂=3,
∴小球的飞行高度是15m时,小球的飞行时间是1s或3s,故A错误;
∴当t=3时,h=15,此时小球继续下降,故B错误.
∵h=20t−5t²=20−5(2−t)²,
∴当t=2时,小球的飞行高度最大为20m,故C错误;
∵当h=0时,0=20t−5t²,解得t₁=0,t₂=4,
∴t₂−t₁=4,
∴小球从飞出到落地要用4s,故D正确. 故选D.