《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. 如图,已知抛物线$c_{1}$的顶点为$A(-1,4)$,与y轴的交点为$D(0,3).$
(1)请直接写出$c_{1}$的表达式；
(2)若直线$l_{1}:y=x+m$与$c_{1}$仅有唯一的交点,求m的值；
(3)若抛物线$c_{1}$关于y轴对称的抛物线记作$c_{2}$,平行于x轴的直线记作$l_{2}:y=n$.试结合图象回答:当n为何值时,$l_{2}$与$c_{1}$和$c_{2}$共有:①两个交点；②三个交点；③四个交点.

答案：
(1)
∵抛物线c₁的顶点为A(-1,4),
∴设抛物线c₁的表达式为y=a(x+1)²+4,
把D(0,3)代入y=a(x+1)²+4,得3=a+4,
∴a=-1,
∴抛物线c₁的表达式为y=-(x+1)²+4,即y=-x²-2x+3.
(2)由{y=x+m,y=-x²-2x+3}得x²+3x+m-3=0.
∵直线l₁:y=x+m与c₁仅有唯一的交点,
∴Δ=9-4m+12=0,解得m=21/4.
(3)
∵抛物线c₁关于y轴对称的抛物线记作c₂,
∴抛物线c₂的顶点坐标为(1,4),与y轴的交点为(0,3),
∴抛物线c₂的表达式为y=-x²+2x+3,
∴①当直线l₂过抛物线c₁的顶点(-1,4)和抛物线c₂的顶点(1,4)时,
即n=4时,l₂与c₁和c₂共有两个交点.
②当直线l₂过点D(0,3)时,即n=3时,l₂与c₁和c₂共有三个交点.
③当3＜n＜4或n＜3时,l₂与c₁和c₂共有四个交点.

变式 1.1 （2025·陕西宝鸡期中）如图,抛物线$y=-\frac {1}{2}x^{2}+bx+c$与x轴交于点A和点$B(4,0)$,与y轴交于点$C(0,4)$,点E在抛物线上.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E在第一象限内,过点E作$EF// y$轴,交BC于点F,作$EH// x$轴,交抛物线于点H,点H在点E的左侧,以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH,当矩形EFGH的周长为11时,求线段EH的长.

答案：
(1)
∵抛物线图象经过点B(4,0)和C(0,4),
∴{c = 4,-1/2×4² +4b + c = 0},解得{b = 1,c = 4}
∴抛物线的表达式为y=-1/2x²+x+4.
(2)设直线BC的表达式为y=kx+4,则0=4k+4,
解得k=-1,
∴直线BC的表达式为y=-x+4.
设点E的坐标为(x,-1/2x²+x+4),且1＜x＜4,则点F的坐标为(x,-x+4),
∴GH=EF=-1/2x²+x+4-(-x+4)=-1/2x²+2x.
∵抛物线的对称轴为直线x=-1/(2×(-1/2))=1,
∴点H的坐标为(2-x,-1/2x²+x+4),
∴GF=EH=2x-2.
依题意,得2(-1/2x²+2x+2x-2)=11,
解得x=5(舍去)或x=3,
∴EH=2×3-2=4.

变式 1.2 （2024·安徽三模）如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}-ax-2$与x轴交于$A(-2,0)$,B两点,交y轴于点C,直线$y=-\frac {1}{3}x+b$经过点B.
(1)求a,b的值；
(2)将$\triangle BOC$平移,平移后点B仍在抛物线上,记作点P,此时点C恰好落在直线$y=-\frac {1}{3}x+b$上,求点P的坐标.

答案：
(1)将A(-2,0)代入抛物线y=ax²-ax-2,可得4a+2a-2=0,解得a=1/3,
∴抛物线表达式为y=1/3x²-1/3x-2.
当y=0时,1/3x²-1/3x-2=0,
解得x=3或x=-2(舍去),
∴点B的坐标为(3,0).
将B(3,0)代入y=-1/3x+b,可得-1/3×3+b=0,
解得b=1.故a=1/3,b=1.
(2)将x=0代入抛物线表达式,得y=-2,
∴点C的坐标为(0,-2).
设点P的坐标为(p,1/3p²-1/3p-2),
根据平移性质可得,平移后得到的点C'坐标应为(p-3,1/3p²-1/3p-2-2),
此时点C'恰好落在直线y=-1/3x+1中,
则-1/3(p-3)+1=1/3p²-1/3p-2-2,
解得p=±3√2.
当p=3√2时,1/3p²-1/3p-2=4-√2;
p=-3√2时,1/3p²-1/3p-2=4+√2.
故点P的坐标为(3√2,4-√2)或(-3√2,4+√2).