《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

9. 母子型 [初步尝试](1)如图(1)所示,在三角形纸片 ABC 中,∠ACB= 90°,将△ABC 折叠,使点 B 与点 C 重合,折痕为 MN,则 AM 与 BM 的数量关系为______.
[思考说理](2)如图(2)所示,在三角形纸片 ABC 中,AC= BC= 6,AB= 10,将△ABC 折叠,使点 B 与点 C 重合,折痕为 MN,求 AM/BM 的值.
[拓展延伸](3)如图(3)所示,在三角形纸片 ABC 中,AB= 9,BC= 6,∠ACB= 2∠A,将△ABC 沿过顶点 C 的直线折叠,使点 B 落在边 AC 上的点 B'处,折痕为 CM.
①求线段 AC 的长;
②若点 O 是边 AC 的中点,点 P 为线段 OB'上的一个动点,将△APM 沿 PM 折叠得到△A'PM,点 A 的对应点为点 A',A'M 与 CP 交于点 F,求 PF/MF 的取值范围.

(第9题)

答案：

(1)AM=BM [解析]由折叠的性质，得CN=BN,∠CNM=∠BNM=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BNM=90°,
∴AC//MN,
∴MN是△ABC的中位线,
∴点M是AB的中点.
∴AM=BM.
(2)
∵AC=BC=6,
∴∠B=∠A.由折叠的性质,得∠B=∠MCN,
∴∠MCN=∠A,即∠MCB=∠A.在△BCM和△BAC中,∠MCB=∠A，∠B=∠B,
∴△BCM∽△BAC.
∴BM/BC=BC/BA,即BM/6=6/10,解得BM=18/5.
∴AM=AB−BM=10−18/5=32/5.
∴AM/BM=(32/5)/(18/5)=16/9.
(3)①由折叠的性质,得∠BCM=∠ACM=1/2∠ACB.由∠ACB=2∠A联想到“二倍角模型”来构造等腰三角形，即可得∠BCM=∠A.
∵∠ACB=2∠A,即∠A=1/2∠ACB,
∴∠BCM=∠ACM=∠A.
∴AM=CM.在△BCM和△BAC中,∠BCM=∠A，∠B=∠B,
∴△BCM∽△BAC.
∴BM/BC=BC/BA=CM/AC,即BM/6=6/9=CM/AC,解得BM=4,
∴AM=AB−BM=9−4=5,
∴CM=AM=5,
∴6/9=5/AC,解得AC=15/2.
②如图,由折叠的性质,可知B'C=BC=6,A'P=AP,∠A'=∠A,

∴AB'=AC−B'C=15/2−6=3/2.
∵点O是边AC的中点,
∴OA=1/2AC=15/4.
∴OB'=OA−AB'=15/4−3/2=9/4.设B'P=x,则A'P=AP=AB'+B'P=3/2+x.
∵点P为线段OB'上的一个动点,
∴0≤B'P≤OB',其中当点P与点B'重合时,B'P=0；当点P与点O重合时,B'P=OB'.
∴0≤x≤9/4.
∵∠A'=∠A,∠ACM=∠A,
∴∠A'=∠FCM.在△A'FP和△CFM中,∠A'=∠FCM,∠A'FP=∠CFM,
∴△A'FP∽△CFM.
∴PF/MF=A'P/CM=(3/2+x)/5=3/10+1/5x.
∵0≤x≤9/4,
∴3/10≤3/10+1/5x≤3/4.考虑到当点P与点O重合时，点A'，点F，点C重合,此时PF=OC=1/2AC=15/4,MF=MC=5,
∴PF/MF=(15/4)/5=3/4,
∴PF/MF≤3/4可以取等号.故3/10≤PF/MF≤3/4.

10.(2024·新疆中考)如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E,⌒AD= ⌒BD.
(1)求证:△ACD∽△ECB;
(2)若 AC= 3,BC= 1,求 CE 的长.

答案：

(1)
∵AD=BD,
∴∠ACD=∠BCE.
∵∠ADC=∠EBC,
∴△ACD∽△ECB.
(2)过点B作BH⊥CD于点H，如图.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中,AB=√(BC²+AC²)=√(1²+3²)=√10.
∵∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°,
∴△ABD为等腰直角三角形,
∴BD=√2/2AB=√2/2×√10=√5.在Rt△BCH中,
∵∠BCH=45°,
∴CH=BH=√2/2BC=√2/2.在Rt△BDH中,DH=√(BD²−BH²)=√((√5)²-(√2/2)²)=3√2/2,
∴CD=CH+DH=√2/2+3√2/2=2√2.
∵△ACD∽△ECB,
∴CA:CE=CD:BC,即3:CE=2√2:1,解得CE=3√2/4，即CE的长为3√2/4.