《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. 已知菱形ABCD的边长是6,点E在直线AD上,若DE= 2,连结BE与对角线AC相交于点F,则$\frac{FC}{AF}$的值为(C).
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{2}或\frac{3}{4}$
D.$\frac{1}{3}或\frac{2}{3}$

答案： 1.C [解析]①当点E在AD上时,
∵DE=2,AD=BC=6,
∴AE=4.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE//BC,
∴△CBF∽△AEF,
∴$\frac{FC}{AF}$=$\frac{BC}{EA}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$.②当点E在AD的延长线上时,
∵DE=2,AD=BC=6,
∴AE=8.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AE//BC,
∴△CBF∽△AEF,
∴$\frac{FC}{AF}$=$\frac{BC}{EA}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$.综上所述，$\frac{FC}{AF}$的值为$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$.故选C.

2. 如图,在Rt△ACB中,∠C= 90°,AC= 4 cm,BC= 3 cm,点P由点B出发沿BA方向向终点A匀速运动,速度为1 cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向向终点C匀速运动,速度为2 cm/s. 连结PQ,设点P,Q运动的时间为t(s)(0＜t＜2),当以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似时,t的值为______$\frac{10}{7}$或$\frac{25}{13}$.

答案： 2.$\frac{10}{7}$或$\frac{25}{13}$ [解析]在Rt△ACB中,
∵AC=4cm,BC=3cm,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=5cm.由题意,得BP=tcm,AQ=2tcm,
∴AP=(5−t)cm.
∵∠A=∠A,
∴分两种情况讨论:①若△APQ∽△ABC,则$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$,即$\frac{2t}{4}$=$\frac{5−t}{5}$,解得t=$\frac{10}{7}$.②若△AQP∽△ABC,则$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$,即$\frac{2t}{5}$=$\frac{5−t}{4}$,解得t=$\frac{25}{13}$.综上所述，t的值为$\frac{10}{7}$或$\frac{25}{13}$.

3. 如图,在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),若点C在x轴上(点C与点A不重合),则当点C的坐标为(−1,0)或(1,0)或(−4,0)时,使△BOC与△AOB相似.

答案： 3.(−1,0)或(1,0)或(−4,0) [解析]分两种情况讨论:①当△BOC∽△AOB时,$\frac{BO}{AO}$=$\frac{OC}{OB}$,即$\frac{2}{4}$=$\frac{OC}{2}$,解得OC=1,
∴点C(1,0)或(−1,0).②当△COB∽△AOB时,$\frac{BO}{BO}$=$\frac{OC}{OA}$,即$\frac{OC}{4}$=1,解得OC=4,
∴点C(−4,0)(点C(4,0)与点A重合,不合题意，舍去).综上所述，点C的坐标为(1,0)或(−1,0)或(−4,0).

4. 已知三角形的三边都不相等,经过三角形一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,若其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,则把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”. 如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD和△ABC相似,∠A= 46°,则∠ACB的度数为______.

答案： 4.113°或92° [解析]
∵△BCD∽△BAC,
∴∠BCD=∠A=46°.
∵△ACD是等腰三角形,∠ADC＞∠BCD,
∴∠ADC＞∠A,即AC≠CD.①当AC=AD时,∠ACD=∠ADC=$\frac{1}{2}$×(180°−46°)=67°,
∴∠ACB=67°+46°=113°.②当DA=DC时,∠ACD=∠A=46°,
∴∠ACB=46°+46°=92°.综上所述，∠ACB的度数为113°或92°.

5. 如图,抛物线$y= -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C.
(1)试求A,B,C的坐标.
(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°,得到△BAD.
①求点D的坐标.
②判断四边形ADBC的形状,并说明理由.
(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使△BMP与△BAD相似？若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
5.
(1)当y=0时,0=−$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2,解得x₁=−1,x₂=4,
∴点A(−1,0),B(4,0).当x=0时,y=2,
∴点C(0,2).
(2)①如图,过点D作DE⊥x轴于点E.
∵将△ABC绕AB中点M旋转180°,得到△BAD,
∴DE=OC=2,AO=BE=1,OM=ME=1.5,
∴点D(3,−2).②四边形ADBC是矩形，理由如下:由旋转的性质,得AC=BD,AD=BC,
∴四边形ADBC是平行四边形.
∵AC=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{5}$,BC=$\sqrt{2^{2}+4^{2}}$=2$\sqrt{5}$,AB=5,
∴AC²+BC²=AB²,
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°,
∴平行四边形ADBC是矩形.
(3)如图,由题意,得BD=$\sqrt{5}$,AD=2$\sqrt{5}$,则$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$.易得抛物线的对称轴为直线x=1.5,
∴BM=2.5.当△BMP∽△ADB时,$\frac{PM}{BM}$=$\frac{BD}{AD}$,即$\frac{PM}{2.5}$=$\frac{1}{2}$,解得PM=1.25,
∴点P(1.5,1.25);当△BMP₁∽△ADB时,可得点P₁(1.5,−1.25);当△BMP₂∽△BDA时,$\frac{P_{2}M}{AD}$=$\frac{BM}{BD}$,即$\frac{P_{2}M}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2.5}{\sqrt{5}}$,解得$P_{2}M$=5,
∴可得点P₂(1.5,5);当△BMP₃∽△BDA时,可得点P₃(1.5,−5).综上所述,点P的坐标为(1.5,1.25)或(1.5,−1.25)或(1.5,5)或(1.5,−5).