《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

10.(江苏无锡江阴南菁中学自主招生)如图,以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后,AB与$\overset{\frown}{CB}$相交于点D. 若$\overset{\frown}{CD}= \frac{1}{3}\overset{\frown}{BD}$,则$\angle B= $______°.

答案：
18°　[解析]如图，连结OC.
　　　　　　　　
∵∠ABC=∠DBC，
∴$\stackrel{\frown }{AC}$=$\stackrel{\frown }{CD}$.
∵$\stackrel{\frown }{CD}$=$\frac{1}{3}$$\stackrel{\frown }{BD}$，
∴$\stackrel{\frown }{AC}$=$\frac{1}{4}$$\stackrel{\frown }{BC}$，
∴$\stackrel{\frown }{AC}$=$\frac{1}{5}$$\stackrel{\frown }{ACB}$，
∴∠AOC=$\frac{1}{5}$×180°=36°.
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B.
∵∠AOC=∠B+∠OCB，
∴∠B=18°.

11.(2024·湖北武汉武昌区期中)如图,在$\odot O$中,弦AD,BC相交于点E,连结OE,已知$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{CD}$.
(1)求证：$BE= DE$；
(2)如果$\odot O$的半径为5,$AD\perp CB$,$DE= 1$,求AE的长.

答案：

(1)
∵$\stackrel{\frown }{AB}$=$\stackrel{\frown }{CD}$，
∴AB=CD.
　在△ABE与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BAE=\angle DCE,\\ AB=CD,\\ \angle B=\angle D,\end{array}\right.$
　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△ABE≌△CDE(ASA)，
∴BE=DE.
(2)如图，过点O作OF⊥AD于点F，OG⊥BC于点G，连结OA，OC.
　由垂径定理，得AF=FD，BG=CG.
∵$\stackrel{\frown }{AB}$=$\stackrel{\frown }{CD}$，
∴$\stackrel{\frown }{AB}$+$\stackrel{\frown }{BD}$=$\stackrel{\frown }{CD}$+$\stackrel{\frown }{BD}$，
∴$\stackrel{\frown }{AD}$=$\stackrel{\frown }{BC}$，
∴AD=BC，
∴AF=CG.
　在Rt△AOF与Rt△COG中，$\left\{\begin{array}{l}OA=OC,\\ AF=CG,\end{array}\right.$
∴Rt△AOF≌Rt△COG(HL)，
∴OF=OG.
∵AD⊥CB，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF.
　设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，
∴在Rt△AOF中，OF²+AF²=OA²，即x²+(x+1)²=5²，解得x₁=3，x₂=−4(舍去)，
∴AF=4，
∴AE=7.

12.(2025·杭州期中)如图,AB是$\odot O$的直径,四边形ABCD内接于$\odot O$,OD交AC于点E,$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{CD}$.
(1)求证：$OD// BC$；
(2)若$AC= 8$,$DE= 2$,求BC的长.

答案：
(1)
∵$\stackrel{\frown }{AD}$=$\stackrel{\frown }{CD}$，
∴OD⊥AC.
　又AB是⊙Oの直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD//BC.
(2)
∵$\stackrel{\frown }{AD}$=$\stackrel{\frown }{CD}$，
∴OD⊥AC于点E且AE=CE.
　又AC=8，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4.
　设⊙O半径为R，则OA=R，OE=R−2，
　在Rt△AOE中，
　OA²=OE²+AE²，即R²=(R−2)²+4²，
∴R=5.
　又O，E分别为AB，AC的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2OE=2×(5−2)=6.

13. 中考新考法 满足条件的结论开放 如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是弦,$AB\perp CD$,P是$\overset{\frown}{CAD}$上一点(不与点C,D重合).
(1)求证：$\angle CPD= \angle COB$.
(2)若点$P'$在劣弧CD上(不与点C,D重合),则$\angle CP'D与\angle COB$有什么数量关系？请证明你的结论.

精题详解

答案：
(1)连结OD.
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴$\stackrel{\frown }{BC}$=$\stackrel{\frown }{BD}$，
∴∠COB=∠DOB=$\frac{1}{2}$∠COD.
∵∠CPD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠CPD=∠COB.
(2)∠CP'D+∠COB=180°.证明如下：
∵∠CP'D+∠CPD=180°，而∠CPD=∠COB，
∴∠CP'D+∠COB=180°.

14.(2024·陕西中考)如图,AB为$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{AD}$,$\angle A= 53^{\circ}$,则$\angle B$的度数是______.

答案：
37°　[解析]连结BC，如图所示.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　在Rt△ABC中，∠A=53°，
∴∠ABC=90°−∠A=37°.
∵$\stackrel{\frown }{AC}$=$\stackrel{\frown }{AD}$，
∴∠ABD=∠ABC=37°.