《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1.(2024·云南中考)如图,CD是$\odot O$的直径,点A,B在$\odot O$上. 若$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BC}$,$\angle AOC= 36^{\circ}$,则$\angle D= $( ).

A.$9^{\circ}$
B.$18^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案：
B　[解析]如图，连结AD.
　　　　　　　　　
∵$\stackrel{\frown }{AC}$=$\stackrel{\frown }{BC}$，
∴∠ADC=∠BDC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×36°=18°.
　故选B.

2.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为$\odot O$的两条弦,连结OB,OC,若$\angle A= 45^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为(C).

A.$60^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

答案： C　[解析]由题意，得∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC.
　又∠A=45°，
∴∠BOC=2×45°=90°.
　故选C.

3.(2024·衢州一模)在$\odot O$中,半径$OA= 2$,弦$AB= 2\sqrt{3}$,则弦AB所对的圆周角大小为60或120度.

答案： 60或120

4.(2025·湖北武汉东西湖区期末)如图,AB是$\odot O$的直径,$CD= CB$,$CE\perp AB$于点E,连结BD交CE于点F.
(1)求证：$CF= BF$；
(2)若$CD= 4\sqrt{5}$,$AC= 8\sqrt{5}$,求弦BD的长.

答案：

(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°−∠ABC.
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°−∠ABC，
∴∠ECB=∠A.
　又CD=CB，
∴$\stackrel{\frown }{CD}$=$\stackrel{\frown }{CB}$，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF.
(2)如图，连结OC，交BD于点G.
　　　　　　　　
∵BC=CD，
∴OC⊥BD，BD=2BG.
∵∠ACB=90°，BC=CD=4$\sqrt{5}$，AC=8$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=$\sqrt{(8\sqrt{5})^{2}+(4\sqrt{5})^{2}}$=20，
∴⊙O的半径为10.
　设OG=x，则CG=10−x，
　在Rt△OBG和Rt△BCG中，由勾股定理，得BG²=OB²−OG²=BC²−CG²，
　即10²−x²=(4$\sqrt{5}$)²−(10−x)²，解得x=6，
∴BG=$\sqrt{10²−6²}$=8，
∴BD=16.

5.(2024·甘肃中考)如图,点A,B,C在$\odot O$上,$AC\perp OB$,垂足为D,若$\angle A= 35^{\circ}$,则$\angle C$的度数是(A).

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： A　[解析]
∵∠A=35°，
∴∠O=2∠A=70°.
∵AC⊥OB，
∴∠CDO=90°，
∴∠C=90°−∠O=90°−70°=20°.
　故选A.

6. 如图,AB是$\odot O$的弦,且$AB= 6$,点C是弧AB的中点,点D是优弧AB上的一点,$\angle ADC= 30^{\circ}$,则圆心O到弦AB的距离等于(C).
A.$3\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C　[解析]连结OA，OC，OC交AB于点E.
∵点C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°.
∴OE=$\sqrt{3}$.故选C.
　归纳总结　本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理和垂径定理，属于中考常考题型.

7.(2024·赤峰中考)如图,AD是$\odot O$的直径,AB是$\odot O$的弦,半径$OC\perp AB$,连结CD,交OB于点E,$\angle BOC= 42^{\circ}$,则$\angle OED$的度数是(B).

A.$61^{\circ}$
B.$63^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$67^{\circ}$

答案： B　[解析]
∵半径OC⊥AB，
∴$\stackrel{\frown }{AC}$=$\stackrel{\frown }{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC=42°，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠AOC=21°.
∵OC=OD，
∴∠C=∠D=21°，
∴∠OED=∠C+∠BOC=21°+42°=63°.
　故选B.

8.(2025·宁波七中期中)如图,在$\odot O$中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上,若$\angle ABC= 21^{\circ}$,则$\angle BAC= $24°.

答案： 24°　[解析]
∵∠AOB=90°，
　由圆周角定理可得∠ACB=$\frac{1}{2}$×(360°−90°)=135°.
∵∠ABC=21°，
∴∠BAC=180°−21°−135°=24°.

9.(2024·江苏无锡江南中学期末)如图,在$\odot O$中,$AD\perp BC$,连结AB,CD,当$AB= 2$,$CD= 6$时,则$\odot O$半径长为______.

答案：
$\sqrt{10}$　[解析]如图，连结CO并延长交⊙O于H，连结BH，DH，BD.
∵CH是直径，
∴∠CBH=∠CDH=90°，
∴CB⊥BH.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵CB⊥AD，
∴AD//BH，
∴∠ADB=∠DBH，
∴$\stackrel{\frown }{AB}$=$\stackrel{\frown }{DH}$，
∴DH=BA=2，
　在Rt△CDH中，CD=6，根据勾股定理，得CH=$\sqrt{CD²+DH²}$=2$\sqrt{10}$，
∴⊙O半径长为$\sqrt{10}$.