《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1.(2025·杭州西湖区期末)如图所示为二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象,对称轴是直线x=1,下列结论:①b²＞4ac;②9a+3b+c＞0;③abc＜0;④3a+c＜0.其中正确的个数是(C).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案： C [解析]
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b² - 4ac＞0，
∴b²＞4ac，故①正确；当x = 3时，y＜0，
∴9a + 3b + c＜0，故②错误；
∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0.
∵抛物线的对称轴为直线x = -$\frac{b}{2a}$ = 1，
∴b = -2a＞0，
∴abc＜0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x = -$\frac{b}{2a}$ = 1，
∴b = -2a，当x = -1时，y＜0，即a - b + c＜0，
∴a + 2a + c = 3a + c＜0，故④正确.综上所述，其中正确的有①③④，共3个.故选C.

2.(2025·温州鹿城区期末)二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=-1,则下列结论:①abc＞0;②a+b＜-c;③4a-2b+c＞0;④3b+2c＜0;⑤a-b＞m(am+b)(其中m为任意实数).其中正确的个数是(C).

答案： C [解析]
∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0.
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0.
∵对称轴为直线x = -$\frac{b}{2a}$ = -1，
∴b = 2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；当x = 1时，y＜0，则a + b + c＜0，
∴a + b＜-c，故②正确；由图象可知，当x = -2时，y＞0，
∴4a - 2b + c＞0，故③正确；
∵当x = 1时，a + b + c＜0，b = 2a，
∴a = $\frac{1}{2}$b，
∴$\frac{1}{2}$b + b + c＜0，
∴3b + 2c＜0，故④正确；
∵当x = -1时，二次函数有最大值，
∴当m为任意实数时，有a - b + c≥am² + bm + c，
∴a - b≥m(am + b)，故⑤错误.综上所述，其中正确的有①②③④，共4个.故选C.

3.(2025·河北保定竞秀区期末)已知二次函数y=ax²+bx+c的变量x,y的部分对应值如表:
|x|...|-3|-2|-1|0|1|...|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|y|...|-11|-5|-1|1|1|...|
根据表中信息,可得一元二次方程ax²+bx+c=0的一个近似解x₁的范围是(C).
A.-3＜x₁＜-2
B.-2＜x₁＜-1
C.-1＜x₁＜0
D.0＜x₁＜1

答案： C [解析]当x = -1时，y = -1；当x = 0时，y = 1，
∴方程的一个近似根x的范围是 -1＜x＜0.故选C.

4.已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax²+bx+c经过点(-1,-4),则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=-4的两根为-5和-1.

答案： -5和-1 [解析]关于x的一元二次方程ax² + bx + c = -4的两根为直线y = -4与抛物线的两交点的横坐标，由抛物线的对称性以及对称轴直线x = -3知，两交点的横坐标为 -5和 -1.

5.若抛物线y=-x²+bx+c与x轴有两个交点(m,0),(m+4,0),该函数图象向下平移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点,则n的值是______4.

答案： 4 [解析]设抛物线表达式为y = -(x - m)(x - m - 4)，
∴y = -[x² - 2(m + 2)x + (m + 2)² - 4] = -[x - (m + 2)]² + 4，
∴抛物线的顶点坐标为(m + 2,4).
∵该函数图象向下平移n个单位长度时，抛物线与x轴有且只有一个交点即顶点落在x轴上，
∴n = 4.

6.(2024·宁波海曙外国语学校期中)已知抛物线y₁=a(x-1.5)²+3的顶点为C,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),其中B点的横坐标为4,一次函数y₂=kx+b经过A,C两点,若y₁＜y₂,则x的取值范围是(B).
A.x＜-1或x＞4
B.x＜-1或x＞1.5
C.-1＜x＜1.5
D.-1＜x＜3

答案： B [解析]
∵抛物线y₁ = a(x - 1.5)² + 3，
∴抛物线的对称轴为直线x = 1.5，顶点为C(1.5,3).
∵抛物线y₁ = a(x - 1.5)² + 3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，其中B点的横坐标为4，
∴点A的坐标为(-1,0).由图可得当y₁＜y₂时，x的取值范围是x＜-1或x＞1.5.故选B.

7.(2025·杭州西湖区期中)设二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),如表列出了x,y的部分对应值.
|x|...|-5|-3|1|2|3|...|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|y|...|-2.79|m|-2.79|0|n|...|
则不等式ax²+bx+c＜0的解集是-6＜x＜2,方程ax²+bx+c=m的解是x = -3或x = -1.

答案： -6＜x＜2 x = -3或x = -1 [解析]
∵抛物线经过点(-5,-2.79),(1,-2.79)，
∴抛物线的对称轴为直线x = $\frac{-5 + 1}{2}$ = -2，
∴点(2,0)关于直线x = -2的对称点是(-6,0)，点(-3,m)关于直线x = -2的对称点是(-1,m).
∵抛物线开口向上，
∴不等式ax² + bx + c＜0的解集是 -6＜x＜2，方程ax² + bx + c = m的解是x = -3或x = -1.

8.(2024·宁波江北区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y₁=2x+1的图象与二次函数y₂=x²+ax+b的图象相交于A,B两点,点A坐标为(m,-1),点B坐标为(2,5).
(1)求m的值以及二次函数的表达式;
(2)根据图象,直接写出当y₁＞y₂时x的取值范围;
(3)若将二次函数图象向上平移t个单位长度后,得到的图象与x轴没有交点,求t的取值范围.

答案：
(1)把(m,-1)代入y₁ = 2x + 1，解得m = -1，
∴点A的坐标为(-1,-1).把A(-1,-1),B(2,5)代入y₂ = x² + ax + b，得$\begin{cases}1 - a + b = -1\\4 + 2a + b = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}$，
∴二次函数的表达式为y₂ = x² + x - 1.
(2)由图象，得当y₁＞y₂时x的取值范围为 -1＜x＜2.
(3)将二次函数图象向上平移t个单位长度后得到的函数表达式为y = x² + x - 1 + t，由题意，得Δ = 1 - 4(t - 1)＜0，解得t＞$\frac{5}{4}$.