《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

7.(2025·江苏宿迁宿豫区期末)如图,AB 是$\odot O$的直径,AC 是$\odot O$的弦,$AB= 2$,$\angle BAC= 30^{\circ}$,若点 D 在$\odot O$上,且$\angle BAD= 60^{\circ}$,则 CD 的长为______.

答案：
1或2 [解析]分两种情况讨论:
当点D在$\overset{\frown}{AC}$上时,如图
(1),连结BC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=30°,AB=2,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=1.
∵∠DAB=60°,
∴∠DAC=∠DAB−∠CAB=30°,
∴∠DAC=∠CAB=30°,
∴DC=BC=1;
当点D在$\overset{\frown}{ABC}$上时,如图
(2).
∵∠DAB=60°,∠CAB=30°,
∴∠CAD=∠BAD+∠CAB=90°,
∴CD是⊙O的直径,
∴CD=AB=2.
综上所述,CD=1或2.

8.(2025·广东广州番禺区期末)如图,$\odot O$的直径 AB 的长为 10 cm,弦 AC 长为 6 cm,$\angle ACB的平分线交\odot O$于点 D. 求 BC,AD 的长.

答案：
如图，连结AD,BD,OD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}$=$\sqrt{10^2 - 6^2}$=8(cm).
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠BCD,
∴AD=BD.
∵OA=OB,
∴OD⊥AB,
∴∠AOD=90°.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得
AD=$\sqrt{OA^2 + OD^2}$=$\sqrt{5^5 + 5^2}$=5$\sqrt{2}$(cm).

9. 如图,利用三角尺可以确认图中的弦 AB 是圆的直径,其数学依据是(B).

A.直径所对的圆周角是直角
B.$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径
C.直角三角形的两个锐角互余
D.两角互余的三角形是直角三角形

答案： B

10.(2025·黑龙江哈尔滨四十七中期中改编)如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,点 E 在 BC 上. 连结 AE 交$\odot O$于点 D,$\angle BAD+\angle ACB= 90^{\circ}$.
求证：AD 为$\odot O$的直径.

答案：
如图，连结BD,
∵$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AB}$,
∴∠ACB=∠ADB.
∵∠BAD+∠ACB=90°,
∴∠BAD+∠ADB=90°,
即∠ABD=90°,
∴AD为⊙O的直径.

11.(2025·江苏南通崇川区期末)如图,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,BC 为$\odot O$的直径,$AB= AD$. 点 E 在 BA 的延长线上,若$\angle EAD= 40^{\circ}$,则$\angle B$的度数为______.

答案：
70° [解析]如图，连结OA,OD.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠BAD+∠EAD=180°,
∠EAD=40°,
∴∠BCD=∠EAD=40°,
∴∠BOD=2∠BCD=80°.
∵AB=AD,
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AD}$,
∴∠BOA=∠DOA=40°.
∵OA=OB,
∴∠B=$\frac{1}{2}$×(180° - 40°)=70°.

12.(2025·辽宁鞍山海城期末)如图,圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 E,BD 平分$\angle ADC$,$\angle ABD= \angle CAD$.
(1)求$\angle BAD$的大小；
(2)过点 C 作$CF// AB$交 AD 的延长线于点 F. 若$AC= AB$,$DF= 3$,求圆的半径.

答案：
(1)
∵∠ABD=∠CAD,∠CBD=∠CAD,
∴∠ABD=∠CBD.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°,
∴2∠ABD+2∠ADB=180°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∴∠BAD=180° - 90°=90°.
(2)由
(1)知∠BAD=90°,
∴∠CAD+∠BAE=90°,BD为直径.
∵∠ABD=∠CAD,
∴∠ABD+∠BAE=90°,
∴∠AEB=90°.
∵BD为直径,
∴BD垂直平分AC,
∴AB=BC.
∵AC=AB,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴∠ABD=∠CBD=30°.
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
又∠CDF+∠ADC=180°,
∴∠CDF=∠ABC=60°.
∵CF//AB,
∴∠BAD+∠AFC=180°.
∵∠BAD=90°,
∴∠AFC=90°,
∴∠FCD=30°,
∴CD=2DF.
∵DF=3,
∴CD=6.
∵BD为直径,
∴∠BCD=90°.
∵∠CBD=30°,
∴BD=2CD=12.即圆的直径为12.