《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

12. 已知实数$a$,$b$,$c满足a+b+c= 10$,且$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}= \frac{14}{17}$,则$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$的值是______$\frac{89}{17}$.

答案： 12.$\frac{89}{17}$ [解析]
∵a+b+c=10,
∴a=10-(b+c),b=10-(a+c),c=10-(a+b),
∴$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{10-b+c}{b+c}+\frac{10-c+a}{c+a}+\frac{10-a+b}{a+b}=\frac{10}{b+c}-1+\frac{10}{c+a}-1+\frac{10}{a+b}-1=\frac{10}{b+c}+\frac{10}{c+a}+\frac{10}{a+b}-3$.
∵$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{14}{17}$,
∴原式=$\frac{14}{17}×10-3=\frac{140}{17}-3=\frac{89}{17}$.

13. 已知$\frac{b+c}{a}= \frac{a+c}{b}= \frac{a+b}{c}$,求$\frac{c}{a+b}$的值.

答案： 13.当a+b+c≠0时,设$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=k$,
∴b+c=ak,a+c=bk,a+b=ck,
∴b+c+a+c+a+b=ak+bk+ck,
∴2(a+b+c)=(a+b+c)k,注意运用等式的基本性质时的前提条件为除式不为0
∴k=2,
∴a+b=2c,即$\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}$.当a+b+c=0时,a+b=-c,
∴$\frac{c}{a+b}=-1$.故$\frac{c}{a+b}$的值为$\frac{1}{2}$或-1.

14. (2025·江苏苏州中学月考)已知$\triangle ABC三边a$,$b$,$c满足(a-c):(a+b):(c-b)= -2:7:1$,且$a+b+c= 24$.
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 14.
(1)设a-c=-2k,a+b=7k,c-b=k,
∴a=7k-b,c=k+b,
∴a-c=7k-b-k-b=-2k.
∵a+b+c=24,
∴7k-b+b+k+b=24,$\begin{cases}8k-2b=0,\\8k+b=24,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=8,\end{cases}$
∴a=6,c=10.
(2)
∵$a^2+b^2=6^2+8^2=100=10^2=c^2$,
∴△ABC是直角三角形.

15. 操场上有一群学生玩游戏,其中男生与女生的人数比是$3:2$,后来又有$6$名女生参加,此时男生与女生的人数比为$5:4$,求原来各有多少名男生和女生.

答案： 15.设原来有男生x名,女生y名,则$\begin{cases}x:y=3:2,\\x:(y+6)=5:4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=45,\\y=30.\end{cases}$故原来有男生45名,女生30名.

16. 中考新考法 添加条件开放 已知三个数$1$,$2$,$\sqrt{3}$,请你再添加一个数,使它与已有的三个数成比例,写出一种可能的数,但要求所写式子中已知的三个数出现的顺序从左至右仍为$1$,$2$,$\sqrt{3}$.

答案： 16.设添加的值为x,则有4种情况:①x:1=2:$\sqrt{3}$;②1:x=2:$\sqrt{3}$;③1:2=x:$\sqrt{3}$;④1:2=$\sqrt{3}$:x.
∴x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或x=$2\sqrt{3}$.
∴添加的数为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$2\sqrt{3}$.

17. 换元法 (2025·上海虹口区期中)已知：$\frac{x}{2}= \frac{y}{3}= \frac{z}{4}$,$2x-3y+4z= 22$,求代数式$x+y-z$的值.

答案： 17.设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$,则x=2k,y=3k,z=4k.
∵2x-3y+4z=22,
∴4k-9k+16k=22,
∴k=2,
∴x+y-z=2k+3k-4k=k=2.归纳总结 本题考查了比例的性质和代数式求值.已知几个量的比值时,常用的解法是:设一个未知数,把题目中的几个量用所设的未知数表示出来,实现消元.

18. 若$a$,$b$,$c$是非零实数,并满足$\frac{a+b-c}{c}= \frac{a-b+c}{b}= \frac{-a+b+c}{a}$,且$x= \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$,求$x$的值.

答案： 18.当a+b+c≠0时,设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=k$.联想到比例的基本性质,考虑到分母和不为0,则需分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况讨论由比例的性质,得k=$\frac{(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)}{a+b+c}=1$.由$\frac{a+b-c}{c}=1$,得a+b=2c.同理a+c=2b,b+c=2a,
∴x=$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c\cdot2a\cdot2b}{abc}=8$.当a+b+c=0时,a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a.
∴x=$\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{(-c)\cdot(-a)\cdot(-b)}{abc}=-1$.综上所述,x=-1或x=8.