《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

9.(2024·广西中考)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度 OP 是$\frac {7}{4}m$,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则$OM= $$\frac{35}{3}$m.

答案： $\frac{35}{3}$　[解析]如图,以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，由题意,可知P(0,$\frac{7}{4}$),B(5,4),其中B点为抛物线顶点，设抛物线顶点式为y=a(x - 5)²+4,将P(0,$\frac{7}{4}$)代入上式,解得a=−$\frac{9}{100}$,即抛物线的表达式为y=−$\frac{9}{100}$(x - 5)²+4.
∵M为抛物线与x轴的交点，
∴令y=−$\frac{9}{100}$(x - 5)²+4 = 0,解得x₁ = $\frac{35}{3}$,x₂ = −$\frac{5}{3}$(舍去),
∴OM = $\frac{35}{3}$m.

10. 一次函数$y= kx+4与二次函数y= ax^{2}+c$的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1)求k,a,c的值;
(2)过点$A(0,m)(0＜m＜4)$且垂直于y轴的直线与二次函数$y= ax^{2}+c$的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记$W= OA^{2}+BC^{2}$,求W关于m的函数表达式,并求W的最小值.

答案：
(1)由题意,得k + 4 = 2,解得k = −2.又二次函数顶点为(0,c),
∴c = 4.把(1,2)代入二次函数表达式,得a + 4 = 2,解得a = −2.
(2)由
(1)得二次函数表达式为y = −2x²+4,令y = m,得2x² + m - 4 = 0,
∴x = ±$\sqrt{\frac{4 - m}{2}}$设B,C两点的坐标分别为(x₁,m),(x₂,m),则|x₁| + |x₂| = 2$\sqrt{\frac{4 - m}{2}}$
∴W = OA² + BC² = m² + 4×$\frac{4 - m}{2}$ = m² - 2m + 8 = (m - 1)²+7.当m = 1时,W取得最小值，最小值为7.

11.(2025·杭州上城区笕成中学期中改编)设二次函数$y= (x+1)(ax+2a+2)$(a是常数,$a≠0).$
(1)若$a= 1$,求该函数图象的顶点坐标;
(2)若该二次函数图象经过$(-1,1),(-2,3),(0,-2)$三个点中的一个点,求该二次函数的表达式;
(3)若二次函数图象经过$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$两点,当$x_{1}+x_{2}= 2,x_{1}＜x_{2}$时,$y_{1}＞y_{2}$,求证:$a＜-\frac {2}{5}.$

答案：
(1)当a = 1时,二次函数y=(x + 1)(x + 4)=x²+5x + 4=(x + $\frac{5}{2}$)²−$\frac{9}{4}$
∴顶点坐标为(−$\frac{5}{2}$,-$\frac{9}{4}$).
(2)当x = −1时,y = 0≠1,因此不过(−1,1)点当x = −2时,y=(−2 + 1)(−2a + 2a + 2)=−2≠3,因此不过(−2,3)点.故抛物线过点(0,−2),代入得,2a + 2 = −2,
∴a = −2,
∴二次函数的表达式为y = −2(x + 1)².
(3)
∵二次函数y=(x + 1)(ax + 2a + 2)(a是常数,a≠0)的图象与x轴交于点(−1,0),(−2 - $\frac{2}{a}$,0),
∴函数图象的对称轴为直线x = −$\frac{3a + 2}{2a}$.当a＞0时，函数图象开口向上，
∵当x₁ + x₂ = 2,x₁＜x₂ 时,y₁＞y₂,
∴x₂ + $\frac{3a + 2}{2a}$＜−$\frac{3a + 2}{2a}$ - x₁,
∴2 + $\frac{3a + 2}{a}$＜0,解得a＜−$\frac{2}{5}$,舍去;当a＜0时，函数图象开口向下，
∵x₁＜x₂时,y₁＞y₂,
∴x₂ + $\frac{3a + 2}{2a}$＞−$\frac{3a + 2}{2a}$ - x₁,
∴−$\frac{3a + 2}{a}$＜2,
∴a＜−$\frac{2}{5}$.

12. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c$与x轴交于点A,B,其中A点坐标为(1,0),对称轴是直线$x= 2$,且抛物线与y轴交于点$C(0,-3).$
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;
(2)点$P(m,n)$是y轴右侧抛物线上的动点,且到y轴的距离不超过3,求n的取值范围.

答案：
(1)
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A,B,A点坐标为(1,0),对称轴是直线x=2,
∴B点坐标为(3,0).设抛物线表达式为y=a(x - 1)(x - 3),把C(0,−3)代入,得−3=a(0 - 1)×(0 - 3),解得a = −1,
∴抛物线表达式为y=−(x - 1)(x - 3),即y=−x²+4x - 3.
∵y=−x²+4x - 3=−(x - 2)²+1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,1).
(2)当x = 0时,y=−x²+4x - 3=−3,当x = 2时,y=−x²+4x - 3=1.
∵P(m,n)是y轴右侧抛物线上的动点,且到y轴的距离不超过3，
∴n的取值范围为−3＜n≤1.