《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

11. 如图,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,AC 为$\odot O$的直径,$\angle ADB= \angle CDB$.
(1)试判断$\triangle ABC$的形状,并给出证明;
(2)若$AB= \sqrt {2}$,$AD= 1$,求 CD 的长度.
]

答案：
(1)△ABC是等腰直角三角形.证明如下:
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=∠ABC=90°.
∵∠ADB=∠CDB,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,
∴AB=BC.又∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)在Rt△ABC中,AB=BC=$\sqrt{2}$,
∴AC=2.在Rt△ADC中,AD=1,AC=2,
∴CD=$\sqrt{3}$.

12.(2025·广东广州七中期中)如图,AB 是$\odot O$的直径,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,OD 交 AC 于点 E,$AD= CD$.
(1)求证:$OD// BC$;
(2)若$AC= 10$,$DE= 4$,求 BC 的长.
]

答案：
(1)
∵AD=DC,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴OD⊥AC,
∴∠AEO=90°.
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°,
∴∠AEO=∠ACB,
∴OD//BC.
(2)
∵OD⊥AC,
∴AE=EC=5.设OA=OD=r,在Rt△AOE中,$OA^{2}=AE^{2}+OE^{2}$,
∴$r^{2}=5^{2}+(r - 4)^{2}$,
∴r=$\frac{41}{8}$,
∴OE=r - DE=$\frac{41}{8}-4=\frac{9}{8}$.
∵AE=EC,AO=OB,
∴BC=2OE=$\frac{9}{4}$.

13.(2024·福州一模)如图,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,对角线 AC 是$\odot O$的直径,BD 平分$\angle ABC$,BD 交 AC 于点 E,过点 D 作$DF\perp DB$,DF 交 BA 延长线于点 F.
(1)求证:$AF= BC$;
(2)过点 F 作$FG// BD$交 CA 延长线于点 G,求证:$AG= CE$.
]

答案：
(1)
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=∠ADC=90°.又BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=45°,
∴∠ACD=45°,
∴AD=CD.
∵DF⊥BD,
∴∠BDF=∠ADC=90°,
∴∠ADF=∠CDB.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BCD+∠BAD=180°.又∠BAD+∠DAF=180°,
∴∠DAF=∠DCB,
∴△DAF≌△DCB(ASA),
∴AF=BC.
(2)如图,设DF交⊙O于点N,在DF上截取DP=DE,连结PA,AN,PG,由
(1)知∠ADF=∠CDB,AD=CD,
∴△DAP≌△DCE(SAS),
∴AP=CE,∠DAP=∠DCE=45°,
∴∠PAC=∠DAP+∠DAC=90°,
∴∠PAG=90°.
∵四边形ABDN内接于⊙O,
∴∠ABD+∠AND=180°.又∠ANF+∠AND=180°,
∴∠ANF=∠ABD=45°.
∵∠BDF=90°,∠ABD=45°,
∴∠BFD=45°,
∴∠FAN=90°,AF=AN,
∴∠PAN=∠GAF,又FG//BD,
∴∠GFA=∠FBD=45°,
∴∠GFA=∠PNA=45°,
∴△AGF≌△APN(ASA),
∴AG=AP=CE.

14. 如图,四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,延长 DC,AB 交于点 E,且$BE= BC$.
(1)求证:$\triangle ADE$是等腰三角形;
(2)若$\angle D= 90^{\circ }$,$\odot O$的半径为 5,$BC:DC= 1:\sqrt {2}$,求$\triangle CBE$的周长.
]

答案：
(1)
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠BCD=180°.又∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠A=∠BCE.
∵BE=BC,
∴∠BCE=∠BEC,
∴∠A=∠BEC,
∴DA=DE,即△ADE是等腰三角形.
(2)连结AC,设BC=k,则CD=$\sqrt{2}$k.
∵∠D=90°,
∴∠CBE=∠D=90°.又BE=BC,
∴∠E=45°.
∴BE=BC=k,EC=$\sqrt{2}$k,
∴AD=DE=2$\sqrt{2}$k.在Rt△ACD中,由勾股定理,得AC=$\sqrt{10}$k.
∵∠D=90°,
∴AC为⊙O的直径.
∵⊙O的半径为5,
∴AC=$\sqrt{10}$k=10,
∴k=$\sqrt{10}$,
∴△CBE的周长为2$\sqrt{10}+2\sqrt{5}$.