《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

16. (2024·北京中考)已知$\angle MAN= \alpha(0^{\circ }＜\alpha ＜45^{\circ })$,点 B,C 分别在射线 AN,AM 上,将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转$180^{\circ }-2\alpha$得到线段 BD,过点 D 作 AN 的垂线交射线 AM 于点 E.
(1)如图(1),当点 D 在射线 AN 上时,求证:C 是 AE 的中点;
(2)如图(2),当点 D 在$\angle MAN$内部时,作$DF// AN$,交射线 AM 于点 F,用等式表示线段 EF 与 AC 的数量关系,并证明.

答案：

(1)如图
(1)，连结CD,由题意，得BC=BD,∠CBD=180°−2α,
∴∠BDC=∠BCD.
∵∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°,
∴∠BDC=$\frac{180°−(180°−2α)}{2}$=α,
∴∠BDC=∠A,
∴CA=CD.
∵ED⊥AN,
∴∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°,
∴∠1=∠2,
∴CD=CE,
∴CA=CE,
∴点C是AE的中点.

(2)EF=2AC. 证明如下:
如图
(2)，在射线AM上取点H，使得BH=BA,取EF的中点G，连结DG，DH.
∵BH=BA,
∴∠BAH=∠BHA=α,
∴∠ABH=180°−2α=∠CBD,
∴∠ABC=∠HBD.
∵BC=BD,
∴△ABC≌△HBD(SAS),
∴AC=DH,∠BHD=∠A=α,
∴∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α.
∵DF//AN,
∴∠EFD=∠A=α,∠EDF=∠3=90°.
∵G是EF的中点,
∴GF=GD,EF=2GD,
∴∠GFD=∠GDF=α,
∴∠HGD=2α,
∴∠HGD=∠FHD,
∴DG=DH.
∵AC=DH,
∴DG=AC,
∴EF=2AC.

17. 半角模型 如图,点 M,N 分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上,且$\angle MAN= 45^{\circ }$.把$\triangle ADN$绕点 A 顺时针旋转$90^{\circ }得到\triangle ABE$.
(1)求证:$\triangle AEM\cong \triangle ANM$;
(2)若$BM= 3,DN= 2$,求正方形 ABCD 的边长.

答案：
(1)由旋转的性质，得△ADN≌△ABE,
∴∠DAN=∠BAE,AE=AN,∠D=∠ABE=90°,
∴∠ABC+∠ABE=180°.
∴E,B,C三点共线.
∵∠DAB=90°,∠MAN=45°,
∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°,
∴∠MAE=∠MAN.
又MA=MA,AE=AN,
∴△AEM≌△ANM.
(2)设CD=BC=x,则CM=x−3,CN=x−2.
∵△AEM≌△ANM,
∴EM=MN.
∵BE=DN,
∴MN=BM+DN=5.
∵∠C=90°,
∴MN²=CN²+CM².
∴25=(x−2)²+(x−3)²,
解得x=6或−1(舍去).
∴正方形ABCD的边长为6.

18. (2024·绵阳中考)如图,在正方形 ABCD 中,$AB= 2$,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 在线段 AO 上(与端点不重合),线段 EB 绕点 E 逆时针旋转$90^{\circ }$到 EF 的位置,点 F 恰好落在线段 CD 上,$FH\perp AC$,垂足为 H.
(1)求证:$\triangle OBE\cong \triangle HEF$;
(2)设$OE= x$,求$OE^{2}-CF$的最小值.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,
∴∠BOE=90°.
∵FH⊥AC,
∴∠EHF=90°=∠BOE,
∴∠BEO+∠OBE=90°.
由旋转,得BE=EF,∠BEF=90°,
∴∠BEO+∠FEH=90°,
∴∠OBE=∠FEH.
在△OBE和△HEF中，{∠BOE=∠EHF,∠OBE=∠HEF,BE=EF},
∴△OBE≌△HEF(AAS).
(2)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2,OB=OC=$\sqrt{2}$,∠ACD=45°.
∵FH⊥AC,∠ACD=45°,
∴FH=CH=x,
∴CF = $\sqrt{FH^{2}+CH^{2}}$ = $\sqrt{2}$x,
∴OE² - CF = x² - $\sqrt{2}$x = (x - $\frac{\sqrt{2}}{2}$)² - $\frac{1}{2}$.
∵点E在线段AO上(与端点不重合)，注意利用函数解决问题，需要自变量x的取值范围，所以要考虑OE的取值范围，
∴0＜x＜$\sqrt{2}$,
∴当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，OE² - CF的最小值是 - $\frac{1}{2}$.