《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1.(2025·宁波余姚期中)已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c$$(a＜0)过A(-3,0),B(1,0),C(-5,y_{1}),D(5,y_{2})$四点,则$y_{1}与y_{2}$的大小关系是(A).
A.$y_{1}＞y_{2}$
B.$y_{1}= y_{2}$
C.$y_{1}＜y_{2}$
D.不能确定

答案： A [解析]
∵抛物线y=ax²+bx+c(a＜0)过A(-3,0)，B(1,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=(-3 + l)/2 = -1。
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小。
∵-1 - (-5)＜5 - (-1)，
∴y₁＞y₂。故选A。

2. 教材 P21 例·变式 已知二次函数$y= -x^{2}+2bx+c$,当$x＞1$时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是(D).
A.$b≥-1$
B.$b≤-1$
C.$b≥1$
D.$b≤1$

答案： D [解析]
∵抛物线y=-x²+2bx+c的对称轴为直线x=b，而a＜0，
∴当x＞b时，y随x的增大而减小。
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴b≤1。故选D。

3. 抛物线$y= -2(x+3)(x-1)$与x轴的交点坐标是(-3,0),(1,0),与y轴的交点坐标是(0,6),抛物线的对称轴是直线x=-1.

答案： (-3,0),(1,) (0,6) 直线x=-l [解析]令y=0，则-2(x+3)(x-1)=0，解得x₁=-3，x₂=1。
∴抛物线y=-2(x+3)(x-1)与x轴的交点坐标是(-3,0),(1,0)。
令x=0，则y=-2×3×(-1)=6，
∴抛物线y=-2(x+3)(x-1)与y轴的交点坐标是(0,6)。
∵y=-2(x+3)(x-1)=-2(x²+2x-3)=-2(x+1)²+8，
∴抛物线の对称轴是直线x=-1。

4.(2025·宁波鄞州区期末)如下表格是抛物线$y= ax^{2}+bx+c上部分点(x,y)$的横、纵坐标信息.
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | m | -8 | n | p | 7 | q | … |
(1)若$m= n$,该函数有最大值还是最小值?请作出判断并写出最值；
(2)若$a= -4$,请通过计算判断p与q的大小关系；
(3)若点$(x,y)$在抛物线上,当$-1≤x≤2$时,$-8≤y≤7$,求a的取值范围.

答案： (l)若m=n，该函数有最小值，最小值为-8。理由如下：
∵m=n
∴当x=-2,x=0时函数值相等，
∴对称轴为直线x=(-2 +0)/2 = -1。
∵-8＜7
∴x=-1时函数值小于x=2时函数值，
∴该函数有最小值，最小值为-8。
(2)由表中数据可知抛物线y=ax²+bx+c过点(-1,-8),(2,7)代入得
{a - b + c = -8,4a + 2b + c = 7}解得{b = -a + 5,c = -2a -3}把a=-4代入得{b=9,c=5}
∴此时函数表达式为y=-4x²+9x+5
当x=1时y=-4x²+9x+5=-4+9+5=10；x=3时y=-4×9+9×3+5=-4
∴p= l0,q=-4,
∴p＞q。
(3)先画过点(-l,-8),(2,7)的图象讨论如下：
①当-b/(2a)≤-l时由函数过(-l,-8),
(27)得a＞0且-b/(2a)≤-l即-(-a +5)/(2a)≤-l解得a≤5/3,
∴0＜a≤5/3；
②当-b/(2a)≥2时由函数过(-l,-8),
(27)得a＜0且-b/(2a)≥2即-(-a +5)/(2a)≥2解得a≥-5/3,
∴-5/3≤a＜0。
综上a的取值范围为-5/3≤a＜0或0＜a≤5/3。

5.(2024·杭州拱墅区期末)若二次函数$y= ax^{2}+bx+c$(a,b,c 是实数,$a≠0$)的图象经过点$(a,c)$,则(D).
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$b＞0$
D.$b＜0$

答案： D [解析]
∵二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是实数,a≠0)的图象经过点(a,c)
∴抛物线的对称轴为直线x=a/z
∴ -b/(2a)=a/2
∴b=-a²＜0。故选D。
一题多解
∵二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是实数,a≠0)的图象经过点(a,c)
∴c=a³+ab+c
∴a³+ab=0
∴a(a²+b)=0。
∵a≠0
∴a²+b=0
∴b=-a²＜0。故选D；

6.(2024·凉山州中考)抛物线$y= \frac {2}{3}(x-1)^{2}+c经过(-2,y_{1}),(0,y_{2}),(\frac {5}{2},y_{3})$三点,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系正确的是(D).
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$
C.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$

答案： D[解析]
∵抛物线y=2/3(x-1)²+c开口向上对称轴是直线x=1
∴当x＜1时y随x的增大而减小；
∵(5/2,y₃)关于直线x=1的对称点是(-1/2,y₃)且-2＜-1/2＜0＜1
∴y₁＞y₃＞y₂。故选D；；；

7. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象如图所示,有下列4个结论:①$abc＞0$;②$a-b+c＞0$;③$4a+2b+c＞0$;④$b^{2}-4ac＞0$.其中正确的结论有(B).

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B[解析]①
∵抛物线开口向下
∴a＜0；
∵-b/(2a)=1
∴b=-2a
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点y轴正半轴
∴c＞0
∴abc＜0①错误；
②观察函数图象可知当x=-1时y＜0
∴a - b + c＜0②错误；
③
∵抛物线的对称轴为直线x=1抛物线与y轴的交点y轴正半轴
∴当x=2时y＞0
∴4a + zb + c＞0③正确；；
④
∵抛物线与x轴有2个交点
∴Δ=b²-4ac＞0④正确；
综上正确的是③④共2个。故选B。
知识拓展 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时抛物线开口向上；当a＜0时抛物线开口向下；
②一次项系数b二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a,b同号(ab＞0)对称轴在y轴左侧；当a,b异号(ab＜0)对称轴在y轴右侧(简称：左同右异)；；
③常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于点(0,c)。

8.(2025·宁波江北区期末)已知抛物线$y= ax^{2}+bx+1(a≠0$且a,b都是常数)经过点$(3,1)$,且对于符合$-1＜x_{1}＜0,4＜x_{2}＜5的任意实数x_{1},x_{2}$,其对应的函数值$y_{1},y_{2}始终满足y_{1}y_{2}＜0$,则抛物线顶点的纵坐标为(B).
A.$\frac {5}{8}$
B.$\frac {25}{16}$
C.$\frac {25}{8}$
D.$\frac {20}{7}$

答案： B[解析]
∵该抛物线经过点(3,l)和(0,l)
∴该抛物线的对称轴为直线x= l.5。
∴点(-l,O)关于该对称轴对称的点の坐标是(4,O)。
∵对于符合-1＜x₁＜0,4＜x₂＜5的任意实数x₁,x₂其对应的函数值y₁,y₂始终满足y₁y₂＜0
∴a＜0,y₁＞0,y₂＜0。
∵该抛物线经过点(-l,O)和(4,O)
∴不妨设该抛物线的函数表达式为y=a(x+l)(x-4)。
将(0,l)代入得l=a×(0 + l)×(0 -4)解得a=-l/4
∴当x=l.5时y=-l/4×(l.5 + l)×(l.5 -4)=25/l6。故选B。

9.(2025·绍兴期中)已知二次函数$y= x^{2}+bx+c$,当$x≥0$时,函数有最小值-1,当$x＜0$时,函数有最小值-2,则 bc 的值为(D).
A.1
B.1或-1
C.2或-2
D.-2

答案： D[解析]已知二次函数表达式中a=l＞0
∴二次函数图象开口向上对称轴为直线x=-b/2。
∵当x≥0时函数有最小值-l当x＜0时函数有最小值-2,-l＞-2
∴对称轴y轴左边即-b/2＜0
∴b＞0
∴当x=0时y=c=-l
∴当x＜0时函数の最小值为-2解得b₁=-2,b₂=2。
∵b＞0
∴b=2
∴bc=2×(-l)=-2。故选D。