《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

12. (2024·杭州西湖区丰潭中学期中)已知二次函数 $ y= ax^{2}(a≠0) $的图象经过点(1,-2).
(1)求a的值,并写出这个二次函数的表达式.
(2)判断该二次函数的图象是否经过点(-1,2),并说明理由.
精题详解

答案：
(1)由于二次函数y=ax²(a≠0)的图象经过点(1,-2),所以-2=a.故二次函数的表达式为y=-2x².
(2)二次函数的图象不经过点(-1,2).理由如下:由
(1)知y=-2x²,当x=-1时,y=-2,所以该二次函数图象不经过点(-1,2).

13. 如图,在正方形ABCD中,已知点A,B在抛物线 $ y= 2x^{2} $上,点C,D在x轴上.
(1)求点A的坐标;
(2)连结BD交抛物线于点P,求点P的坐标.

答案：
(1)设A(a,2a),则B(-a,2a).
∵点A在抛物线y=2x²上,
∴2a=2a²,
∴a=1或a=0(舍去),
∴点A的坐标为(1,2).
(2)设直线BD的表达式为y=kx+b,由题可知B(-1,2),D(1,0),
∴$\begin{cases}-k + b = 2\\k + b = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -1\\b = 1\end{cases}$,
∴直线BD的表达式为y=-x+1.由2x²=-x+1,解得x₁=-1(舍去),x₂=$\frac{1}{2}$,点P为抛物线与直线BD的交点,当x=$\frac{1}{2}$时,y=2×($\frac{1}{2}$)²=$\frac{1}{2}$.
∴点P的坐标为($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$).

14. 分类讨论思想 中考新考法 操作探究 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线OA交二次函数 $ y= \frac{1}{4}x^{2} $的图象于点A,$ ∠AOB= 90° $,点B在该二次函数的图象上,设过点(0,m)(其中m＞0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M,交直线OB于点N,以线段OM,ON为邻边作矩形OMPN.

精题详解
(1)若点A的横坐标为8.
①用含m的代数式表示M的坐标.
②点P能否落在该二次函数的图象上?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
(2)当m= 2时,若点P恰好落在该二次函数的图象上,请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式.

答案：
(1)①
∵点A在y=$\frac{1}{4}$x²的图象上,横坐标为8,
∴点A的坐标为(8,16).
∴直线OA的表达式为y=2x.
∵点M的纵坐标为m,
∴点M的坐标为($\frac{1}{2}$m,m).
②假设能落在该二次函数的图象上,
∵∠AOB=90°,
∴直线OB的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x.
∵点N在直线OB上,纵坐标为m,
∴点N的坐标为(-2m,m).
∴MN的中点的坐标为(-$\frac{3}{4}$m,m).
∴点P的坐标为(-$\frac{3}{2}$m,2m).把点P的坐标代入抛物线的表达式,得2m=$\frac{1}{4}$×(-$\frac{3}{2}$m)²,解得m=$\frac{32}{9}$或m=0(舍去).故当m=$\frac{32}{9}$时,点P落在该二次函数的图象上.
(2)①当点A在y轴的右侧时,设点A的坐标为(a,$\frac{1}{4}$a²)(a＞0),
∴直线OA的表达式为y=$\frac{1}{4}$ax.
∴点M的坐标为($\frac{8}{a}$,2).
∵OB⊥OA,
∴直线OB的表达式为y=-$\frac{4}{a}$x.
∴点N的坐标为(-$\frac{a}{2}$,2).
∴点P的坐标为($\frac{8}{a}$-$\frac{a}{2}$,4).把点P的坐标代入抛物线的表达式,得$\frac{1}{4}$×($\frac{8}{a}$-$\frac{a}{2}$)²=4,解得a=4$\sqrt{2}$±4.
∵a＞0,
∴直线OA的表达式为y=($\sqrt{2}$±1)x.
②当点A在y轴的左侧时,同理直线OA的表达式为y=(-$\sqrt{2}$±1)x.综上所述,满足条件的直线OA的函数表达式为y=($\sqrt{2}$-1)x或y=($\sqrt{2}$+1)x或y=(-$\sqrt{2}$+1)x或y=(-$\sqrt{2}$-1)x.