《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

10. (2025·福建泉州期中)如图,在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中,$\angle C= \angle F= 90^{\circ}$.
(1)若 Rt△ABC∽Rt△DEF,且 $BC= 2AC$,$DE= 2\sqrt{5}$,求 DF 的长.
(2)小明类比全等三角形的判定,猜想：“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”,即若$\frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}= k$,则 Rt△ABC∽Rt△DEF. 请判断小明的猜想是否成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.

答案：
(1)
∵Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{2AC}=\frac{1}{2}$，即EF = 2DF。
∵∠F = 90°，
∴$DF^{2}+EF^{2}=DE^{2}$，即$DF^{2}+(2DF)^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$，解得DF = 2(负值舍去)。
(2)小明的猜想成立。理由如下:
∵$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=k$，
∴AB = kDE，AC = kDF，
∴$BC = \sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{k^{2}DE^{2}-k^{2}DF^{2}}=k\sqrt{DE^{2}-DF^{2}}=kEF$，
∴$\frac{BC}{EF}=k$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF。

11. (2025·广东深圳期末)(1)如图(1),在菱形 ABCD 中,$\angle B= 60^{\circ}$,点 P 在边 CD 边上,连结 AP,点 Q 在 BC 的延长线上,连结 DQ,$CP= CQ$,求证：$\angle APC= \angle DQC$；
(2)在菱形 ABCD 中,如图(2),点 P,Q 分别是 CD,BC 上的动点,且满足 $AP= DQ= 8$,当$\angle APD= 60^{\circ}$时,求△ADP 与△DQC 的面积之和；
(3)在平行四边形 ABCD 中,如图(3),$AD= 2CD$,P 是 CD 上一动点,Q 是 BC 上一动点,且满足 $AP= 2DQ$,$AP= 10$,$DP= 2$,当$\angle APD= 60^{\circ}$时,求 CQ 的长度.

答案：

(1)如图
(1)所示，连结AC。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC = CD = AD，AB//CD。
∵∠B = 60°，
∴∠ADC = 60°，∠DCQ = 60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴AC = BC = AB = CD = AD，∠ACP = 60°，
∴∠ACP = ∠DCQ。在△ACP和△DCQ中，$\begin{cases}AC = DC\\∠ACP = ∠DCQ\\CP = CQ\end{cases}$
∴△ACP≌△DCQ(SAS)，
∴∠APC = ∠DQC。
(2)如图
(2)所示，延长BC到H使得CH = DP，连结DH。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC = CD = AD，AD//BC，
∴∠ADP = ∠DCH。在△ADP和△DCH中，$\begin{cases}AD = DC\\∠ADP = ∠DCH\\DP = CH\end{cases}$
∴△ADP≌△DCH(SAS)，
∴∠APD = ∠DHC，AP = DH，$S_{\triangle ADP}=S_{\triangle DCH}$
∵AP = DQ = 8，∠APD = 60°，
∴AP = DQ = DH = 8，∠DHC = 60°，
∴△DHQ是等边三角形，
∴$S_{\triangle ADP}+S_{\triangle DQC}=S_{\triangle DCH}+S_{\triangle DQC}=S_{\triangle DQH}$。
∵$S_{\triangle DQH}=\frac{\sqrt{3}}{4}×8^{2}=16\sqrt{3}$，
∴$S_{\triangle ADP}+S_{\triangle DQC}=16\sqrt{3}$。
(3)如图
(3)所示，延长BC到H使得$CH=\frac{1}{2}DP$。
∵AD = 2CD，DP = 2，
∴CH = 1，$\frac{AD}{CD}=\frac{DP}{CH}=2$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADP = ∠DCH，
∴△ADP∽△DCH，
∴$\frac{AP}{DH}=2$，∠APD = ∠DHC = 60°。
∵AP = 2DQ，AP = 10，
∴DQ = DH = 5，
∴△DHQ是等边三角形，
∴QH = 5，
∴CQ = QH - CH = 5 - 1 = 4。