《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. (2024·山东泰安期末)如图,某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离 OC 为 0.5 m 处达到最高,高度 CD 为 1.44 m,水柱落地处离池中心的水平距离 OA 为 1.1 m,那么水管的设计高度 OB 应为______m.

答案：
0.44 [解析]由题意，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系.

可知点(0.5,1.44)是抛物线的顶点，A(1.1,0)，
∴设这段抛物线的表达式为$y=a(x - 0.5)^{2}+1.44$。
∵该抛物线过A(1.1,0)，
∴$0=a(1.1 - 0.5)^{2}+1.44$。
解得$a = - 4$，
∴$y = - 4(x - 0.5)^{2}+1.44$。
∵当$x = 0$时，$y = - 4×(0 - 0.5)^{2}+1.44 = 0.44$，
∴水管的设计高度应为0.44m。

2. (2025·金华义乌七校联考期末)如图,一古桥的桥洞可近似看成抛物线型,其表达式为$y= -\frac{1}{2}x^{2}+2$,现要对这座古桥进行加固,须临时安装一些垂直于地面的支撑杆,要求相邻支撑杆之间的距离为 0.3 m,但最边缘的支撑杆到桥洞底部的距离可以不大于 0.3 m,即图中$AP\leqslant0.3m$,$BQ\leqslant0.3m$,则最多可安装支撑杆14条.

答案： 14 [解析]令$y = 0$，则$-\frac{1}{2}x^{2}+2 = 0$，
解得$x = 2$或$x = - 2$，
∴$AB = 4$。
∵相邻支撑杆之间的距离为0.3m，$AP\leq0.3m$，$BQ\leq0.3m$，
∴在y轴右侧$x = 0.15$，$0.45$，$0.75$，$1.05$，$1.35$，$1.65$，$1.95$共7条，
同理在y轴左侧最多安装7条，
∴最多可安装支撑杆14条。

3. (2024·济宁中考)某商场以每件 80 元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元/件)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内 y 与 x 之间的函数表达式.
(2)在这段时间内,若销售单价不低于 100 元,且商场还要完成不少于 220 件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得利润最大? 最大利润是多少?

答案：
(1)由题意，设一次函数的表达式为$y = kx + b$，
又过(100,300)，(120,200)，
∴$\begin{cases}100k + b = 300\\120k + b = 200\end{cases}$，
∴$\begin{cases}k = - 5\\b = 800\end{cases}$，
∴所求函数表达式为$y = - 5x + 800$。
(2)由题意，得$\begin{cases}x\geq100\\-5x + 800\geq220\end{cases}$，
∴$100\leq x\leq116$。
商场获得的利润$=(x - 80)(-5x + 800)= - 5x^{2}+1200x - 64000 = - 5(x - 120)^{2}+8000$，
又$-5\lt0$，$100\leq x\leq116$，
∴当$x = 116$时，利润最大，最大值为7920。
故当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元。
解后反思　本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的表达式以及利用增减性求出最值。

4. (2024·江苏宿迁期末)新定义:$[a,b,c]为二次函数y= ax^{2}+bx+c(a\neq0,a,b,c$为实数)的“图象数”,如:$y= -x^{2}+2x+3$的“图象数”为$[-1,2,3]$.
(1)图象数为$[1,-1,0]$的二次函数的表达式为______$y = x^{2}-x$;
(2)求证:“图象数”为$[1,m+3,m]$的二次函数的图象与 x 轴恒有两个交点.
由题意，得二次函数的表达式为$y = x^{2}+(m + 3)x + m$。
∵$\Delta=(m + 3)^{2}-4m=(m + 1)^{2}+8\gt0$，
∴“图象数”为[1,$m + 3$,m]的二次函数的图象与x轴恒有两个交点。

答案：
(1)$y = x^{2}-x$ [解析]根据题意，知图象数为[1, - 1,0]的二次函数的表达式为$y = x^{2}-x$。
(2)由题意，得二次函数的表达式为$y = x^{2}+(m + 3)x + m$。
∵$\Delta=(m + 3)^{2}-4m=(m + 1)^{2}+8\gt0$，
∴“图象数”为[1,$m + 3$,m]的二次函数的图象与x轴恒有两个交点。