《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

5.(2024·辽宁营口期中)如图,已知圆 O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E,连结 CO 并延长交 AD 于点 F,且$CF\perp AD$. 证明：E 是 OB 的中点.

答案：
5.连结AC，如图.
∵直径AB垂直弦CD于点E，
∴AC=AD，
∴AC=AD.
∵过圆心O的CF⊥AD，
∴AC=CD，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD.
则△ACD是等边三角形.
又CF⊥AD，
∴∠FCD=$\frac{1}{2}$∠ACD=30°，
∴在Rt△COE中，OE=$\frac{1}{2}$OC，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB，
∴点E为OB的中点.

6.(湖北襄阳四中自主招生改编)如图,在半径为 10 的$\odot O$中,$\angle AOB= 90^\circ$,C 为 OB 的中点,AC 的延长线交$\odot O$于点 D,求线段 CD 的长.

答案：
6.如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∴AH=DH=$\frac{1}{2}$AD.
∵C为OB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=5.
∵∠AOB=90°，
∴AC=$\sqrt{OA^{2}+OC^{2}}$=5$\sqrt{5}$.
∵S△AOC=$\frac{1}{2}$OA·OC=$\frac{1}{2}$AC·OH，
∴10×5=5$\sqrt{5}$OH，
∴OH=2$\sqrt{5}$，
∴AH=$\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AD=2AH=8$\sqrt{5}$，
∴CD=AD−AC=8$\sqrt{5}$−5$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$.

7. 如图,$\odot O$的半径 OA,OB 分别交弦 CD 于点 E,F,且$CE= DF$. 求证：
(1)$\triangle OEF$是等腰三角形.
(2)$AC= BD$.

答案：
7.
(1)如图，过点O作OG⊥CD于点G，则CG=DG.
∵CE=DF，
∴CG−CE=DG−DF，
即EG=FG.
在△OEG与△OFG中，
$\left\{\begin{array}{l} OG=OG,\\ ∠OGE=∠OGF,\\ EG=FG,\end{array}\right. $
∴△OEG≌△OFG(SAS)，
∴OE=OF，即△OEF是等腰三角形.
(2)如图，连结OC，OD，AC，BD.
∵OC=OD，
∴△OCD是等腰三角形.
∵OG⊥CD，
∴∠COG=∠DOG.
∵△OEG≌△OFG，
∴∠EOG=∠FOG，
∴∠COG−∠EOG=∠DOG−∠FOG，即∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD.

8. 如图,线段$AB= 10$,$AC= 8$,点 D,E 在以 AB 为直径的半圆 O 上,且四边形 ACDE 是平行四边形,过点 O 作$OF\perp DE$于点 F,求 AE 的长.

答案：
8.如图，过点E作EG⊥AB于点G，连结OE，
则OE=OA=$\frac{1}{2}$AB=5，∠EGO=90°.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴DE=AC=8，DE//AB.
∵OF⊥DE，即∠OFE=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$DE=4，∠FOG=∠OFE=90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∴OG=EF=4，
∴AG=5−4=1.
在Rt△OEG中，EG=$\sqrt{OE^{2}-OG^{2}}$=3.
在Rt△AGE中，AE=$\sqrt{AG^{2}+EG^{2}}$=$\sqrt{10}$.

9. 如图,在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,O 为$\triangle ABC$角平分线的交点,以 OC 为半径的$\odot O交\triangle ABC$于点 D,E,F,G.
(1)求证：$CD= EF$；
(2)若$\odot O的半径为4\sqrt{2}$,$AE= 2$,求 AB 的长.

答案：
9.
(1)如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，OH⊥CG于点H，连接OE，OD.
∵点O为△ABC角平分线的交点，
∴OM=ON.
∵OE=OD，
∴Rt△OME≌Rt△OND(HL).
∴ME=ND.
∵EF=2ME，CD=2ND，
∴CD=EF.
(2)由
(1)可知CD=EF，
同理可得CD=CG，
∴CD=EF=CG.
∵点O为△ABC角平分线的交点，
∴OM=ON=OH，∠OCH=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.
∵∠ACB=90°，
∴四边形ONCH是正方形.
∴OM=ON=OH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$CG.
∵OC=4$\sqrt{2}$，由勾股定理易得OH=CH=4.
∴EF=CD=CG=2CH=8.
易证AM=AN=6，BM=BH，
∴AC=10.
设BM=BH=x，则BC=x+4，AB=x+6.
∵∠ACB=90°，
∴AB²=AC²+BC²，
即(6+x)²=10²+(4+x)²，解得x=20，
∴BM=20.
∴AB=AM+BM=6+20=26.