《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1.(2024·嘉兴期末)如图,点 P 是等边三角形 ABC的重心,AB= 3,Q 是 BC 边上一点,当 PQ⊥BP 时,则 BQ 的长为(D).

A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

答案： D

2.已知点 G 是△ABC 的重心,GP//BC 交 AB边于点 P,BC= $3\sqrt{3}$,则 GP 等于( ).

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案：
B [解析]如图，连结AG并延长交BC于点M.
　　　　　　　　
根据题意可知，AM为三角形ABC的中线，则M是BC的中点。又GP//BC，
∴$\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$，
∴$GP=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}×\frac{BC}{2}=\frac{1}{3}BC$，
∴$GP=\sqrt{3}$。故选B

3.如图,点 E 为△ABC 中 AC 边上一点,且AE= $\frac{1}{3}$EC,连结 BE,交△ABC 的中线 AD于点 F,若 BF= 3,则 EF 的长为______.

答案：
$\frac{3}{4}$ [解析]如图，过点D作DG//BE，交AC于点G，
　　　　　　　
则$\triangle CGD\backsim\triangle CEB$，
∴$\frac{DG}{BE}=\frac{CG}{CE}=\frac{CD}{CB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DG}{3+EF}=\frac{1}{2}$，$CG=EG$。
∵$AE=\frac{1}{3}EC$，
∴$\frac{AE}{AG}=\frac{2}{5}$。
∵DG//BE，
∴$\triangle AEF\backsim\triangle AGD$，
∴$\frac{EF}{DG}=\frac{AE}{AG}=\frac{2}{5}$，
∴$DG=\frac{5}{2}EF$，
∴$\frac{\frac{5}{2}EF}{3+EF}=\frac{1}{2}$，解得$EF=\frac{3}{4}$。经检验$EF=\frac{3}{4}$是原方程的解。
∴EF的长为$\frac{3}{4}$。

4.如图,在△ABC 中,∠ABC= 90°,AB= 6,BC= 4,P 是△ABC 的重心,连结 BP,CP,求△BPC 的面积.

答案：
$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}×6×4=12$，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且$BP=\frac{2}{3}BE$，
　　　　　　　　　　　　　　　　
$\triangle BEC$的面积$=\frac{1}{2}S=6$。
$BP=\frac{2}{3}BE$，则$\triangle BPC$的面积$=\frac{2}{3}×6=4$。
知识拓展　重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

5.如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,BC 上的点,且 DE//AC,$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDB}= 3:5$,则$S_{\triangle DOE}:S_{\triangle AOC}$的值为(A).
A.$\frac{9}{25}$
B.$\frac{9}{64}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{4}{25}$

答案： A

6.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC= 5,点 P是 BC 边上的一个动点(点 P 与点 B,C 都不重合),现将△PCD 沿直线 PD 折叠,使点 C落到点 F 处;过点 P 作∠BPF 的平分线交 AB于点 E.设 BP= x,BE= y,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是(C).

答案： C [解析]由折叠，可得$\angle CPD=\angle FPD$。
∵PE平分$\angle BPF$，
∴$\angle BPE=\angle FPE$，
∴$\angle EPD=\angle FPE+\angle DPF=90^{\circ}$，
∴$\angle BPE+\angle CPD=90^{\circ}$。在矩形ABCD中，$\angle B=\angle C=90^{\circ}$，
∴$\angle BEP+\angle EPB=90^{\circ}$，
∴$\angle BEP=\angle CPD$，
∴$\triangle EBP\backsim\triangle PCD$，
∴$\frac{BE}{CP}=\frac{BP}{CD}$。
∵$AB=3$，$BC=5$，$BP=x$，$BE=y$，
∴$CD=3$，$PC=5 - x$，
∴$\frac{y}{5 - x}=\frac{x}{3}$，化简，得$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{3}x$。故选C。
易错警示　此类问题容易出错的地方是利用相似三角形的性质忽视边的对应性。

7.实验班原创 如图,已知△ABC∽△FDE,$\frac{AB}{AB+DF}= \frac{1}{3}$,AG 平分∠BAC,FH 平分∠DFE,则$\frac{AG}{FH}$等于(A).

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： A [解析]
∵$\frac{AB}{AB + DF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{1}{2}$。
∵$\triangle ABC\backsim\triangle FDE$，
∴$\angle B=\angle D$，$\angle BAC=\angle DFE$。
∵AG平分$\angle BAC$，FH平分$\angle DFE$，
∴$\angle BAG=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle DFH=\frac{1}{2}\angle DFE$，
∴$\angle BAG=\angle DFH$，
∴$\triangle ABG\backsim\triangle FDH$，
∴$\frac{AG}{FH}=\frac{AB}{DF}=\frac{1}{2}$。故选A