《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

9. 如图,AB 是$\odot O$的直径,$AB= 8$,点 M 在$\odot O$上,$\angle MAB= 20^{\circ }$,N 是弧 MB 的中点,P 是直径 AB 上的一动点,若$MN= 1$,则$\triangle PMN$周长的最小值为5.

答案： 5

10. 如图所示,MN 是$\odot O$的直径,弦$AB\perp MN$,垂足为 D,连结 AM,AN,点 C 为$\widehat {AN}$上一点,且$\widehat {AC}= \widehat {AM}$,连结 CM 交 AB 于点 E,交 AN 于点 F. 现给出以下结论：①$AD= BD$；②$\angle MAN= 90^{\circ }$；③$\widehat {AM}= \widehat {BM}$；④$\angle ACM+\angle ANM= \angle MOB$；⑤$AE= \frac {1}{2}MF$. 其中正确结论的个数是5.

答案： 5

11. 如图,$\odot O$中两条互相垂直的弦 AB,CD 交于点 E.
(1)M 是 CD 的中点,$OM= 3$,$CD= 12$,求$\odot O$的半径长；
(2)点 F 在 CD 上,且$CE= EF$,求证：$AF\perp BD$.

答案：
(1)如图
(1),连结OD,
∵M是CD的中点,CD=12,
∴DM=$\frac{1}{2}$CD=6,OM⊥CD.
∵OM=3,
∴OD=$\sqrt{OM^2 + DM^2}=\sqrt{3^2 + 6^2}=3\sqrt{5}$,即⊙O的半径长为$3\sqrt{5}$.
(2)如图
(2),连结AC,延长AF交BD于点G.
∵AB⊥CD,CE=EF,
∴AB是CF的垂直平分线.
∴AF=AC,即△ACF是等腰三角形.
∵CE=EF,
∴∠FAE=∠CAE.
∵∠CAE与∠CDB都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角,
∴∠CAE=∠CDB.
∴∠FAE=∠CDB.在Rt△BDE中,∠CDB + ∠B=90°,
∴∠FAE + ∠B=90°.
∴∠AGB=90°.
∴AG⊥BD,即AF⊥BD.

12. 如图,已知在$\odot O$中,$\widehat {AB}= \widehat {BC}= \widehat {CD}$,OC 与 AD 相交于点 E. 求证：
(1)$AD// BC$；
(2)四边形 BCDE 为菱形.

答案：
(1)如图,连结BD.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠ADB=∠CBD.
∴AD//BC.
(2)如图,连结CD,设OC与BD相交于点F.
∵AD//BC,
∴∠EDF=∠CBF.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴BC=CD,BF=DF.又∠DFE=∠BFC,
∴△DEF≌△BCF.
∴DE=BC.
∴四边形BCDE是平行四边形.又BC=CD,
∴平行四边形BCDE是菱形.

13. 如图,在$\odot O$中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 P,$\angle CAB= 40^{\circ }$,$\angle APD= 65^{\circ }$.
(1)求$\angle B$的大小；
(2)已知圆心 O 到 BD 的距离为 3,求 AD 的长.

答案：
(1)
∵∠CAB=∠CDB,∠CAB=40°,
∴∠CDB=40°.又∠APD=65°,
∴∠B=65° - 40°=25°.
(2)如图,过点O作OE⊥BD于点E,则OE=3.
∵AB是直径,
∴AD⊥BD.
∴OE//AD.又O是AB的中点,
∴OE是△ABD的中位线.
∴AD=2OE=6.