《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. 把一根长为 50 cm 的铁丝弯成一个长方形,设这个长方形的一边长为 x cm,它的面积为$ y cm^2,$则 y 与 x 之间的函数关系式为(C).
$A. y= -x^2+50x$
$B. y= x^2-50x$
$C. y= -x^2+25x$
$D. y= -2x^2+25$

答案： C

2. (2025·山东临沂期中)小明以二次函数$ y= 2x^2-4x+6 $的图象为模型设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若 AB= 6,DE= 3,则杯子的高 CE 为(A).

A.21
B.22
C.23
D.24

答案： A　[解析]
∵y=2x²−4x+6=2(x−1)²+4,
∴抛物线顶点D的坐标为(1,4).
∵AB=6,
∴B点的横坐标为x=3+1=4,把x=4代入y=2x²−4x+6,得到y=2×16−4×4+6=22,
∴CD=22−4=18,
∴CE=CD+DE=18+3=21.故选A.

3. 教材 P24 例 1·变式 (2024·张家口宣化区一模)九年级 16 班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班级买回来 8 米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,最佳方案是(C).

A.方案 1
B.方案 2
C.方案 3
D.面积都一样

答案： C　[解析]方案1:设AD=x米,则AB=(8−2x)米,则菜园面积=x(8−2x)=−2x²+8x=−2(x−2)²+8,当x=2时，此时菜园最大面积为8平方米.方案2:如图，过点B作BH⊥AC于点H,则BH＜AB=4.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BH,
∴S△ABC＜$\frac{1}{2}$×4×4=8.方案3:半圆的半径=$\frac{8}{π}$米，
∴此时菜园面积=$\frac{π×(\frac{8}{π})^{2}}{2}$=$\frac{32}{π}$(平方米)＞8(平方米).故选C.

4. (2025·江苏南通期末)如图,用一段长为 40 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ABCD,墙长为 20 m,设这个菜园垂直于墙的一边 AB 的长为 x m,与墙平行的边 BC 的长为 y m.
(1)求 y 与 x 的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围.
(2)当 x 为何值时围成的矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？

答案：
(1)y=40−2x,由题意,得40−2x＞0,解得x＜20,40−2x≤20,解得x≥10,
∴10≤x＜20,
∴y=40−2x(10≤x＜20).
(2)设矩形菜园的面积为Sm²,则S=(40−2x)x=−2x²+40x=−2(x²−20x+100)+200=−2(x−10)²+200.
∵10≤x＜20,
∴当x=10时,S有最大值200.
∴当x的值为10时，围成的矩形菜园的面积最大，最大面积是200m².

5. 如图,有一块边长为 6 cm 的等边三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的等形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是(C).
$A. √3 cm^2$
$B. 3√3/2 cm^2$
$C. 9√3/2 cm^2$
$D. 27√3/2 cm^2$

答案： C　[解析]设筝形较短边的长为xcm,则较长边的长为$\sqrt{3}$xcm,故底面等边三角形的边长为(6−2$\sqrt{3}$x)cm,则S=(6−2$\sqrt{3}$x)·x·3=−6$\sqrt{3}$x²+18x,故侧面积的最大值为$\frac{4ac−b²}{4a}$=$\frac{−18²}{4×(−6\sqrt{3})}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$(cm²).故选C.

6. 动点问题 如图,在△ABC 中,∠B= 90°,AB= 12 mm,BC= 24 mm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合). 如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发,要使四边形 APQC 的面积最小,那么要经过(C).

A.1 s
B.2 s
C.3 s
D.4 s

答案： C　[解析]设P,Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Smm²，则有S=S△ABC−S△PBQ=$\frac{1}{2}$×12×24−$\frac{1}{2}$×4t×(12−2t)=4(t−3)²+108.
∵4＞0,
∴当t=3时,S取得最小值.故选C.

7. 定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”. 如图,在正方形 OABC 中,点 A(0,2),点 C(2,0),则互异二次函数$ y= (x-m)^2-m $的图象与正方形 OABC 有交点时 m 的最大值和最小值分别是(D).
A.4,-1
B.(5-√17)/2,-1
C.4,0
D.(5+√17)/2,-1

答案： D　[解析]由正方形的性质可知B(2,2).若二次函数y=(x−m)²−m的图象与正方形OABC有交点，则共有以下四种情况:当m≤0时，则当点A在抛物线上或上方时,它们有交点，此时有$\left\{\begin{array}{l} m≤0,\\ m²-m≤2\end{array}\right. $解得−1≤m≤0;当0＜m≤1时，则当点C在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有$\left\{\begin{array}{l} 0＜m≤1,\\ (2-m)²-m≥0\end{array}\right. $解得0＜m≤1;当1＜m≤2时，则当点O位于抛物线上或下方时,它们有交点，此时有$\left\{\begin{array}{l} 1＜m≤2,\\ m²-m≥0\end{array}\right. $解得1＜m≤2;当m＞2时，则当点O在抛物线上或下方且点B在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有$\left\{\begin{array}{l} m＞2,\\ m²-m≥0,\\ (2-m)²-m≤2\end{array}\right. $解得2＜m≤$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$.综上所述，m的最大值和最小值分别是$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，−1.