《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

14. 如图,AB 是$\odot O$的直径,CD 是$\odot O$的一条弦,且 CD 与 AB 相交于点 E,$\widehat {AC}= \widehat {AD}$.
(1)若$\angle A= 48^{\circ }$,求$\angle OCE$的度数；
(2)若$CD= 4\sqrt {2}$,$AE= 2$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1)
∵AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$,
∴CD⊥AB,
∴∠CEO=∠AED=90°,
∴∠D=90° - ∠A=90° - 48°=42°,
∴∠AOC=2∠D=84°,
∴∠OCE=90° - 84°=6°.
(2)
∵CD⊥AB,
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$2\sqrt{2}$.设⊙O的半径为r,则OE=r - 2,OC=r,在Rt△OCE中,$(r - 2)^2+(2\sqrt{2})^2=r^2$,解得r=3,即⊙O的半径为3.

15.(2025·绍兴柯桥区期中)如图,AB 是$\odot O$的直径,D 为 AB 上一点,C 为$\odot O$上一点,且$AD= AC$,延长 CD 交$\odot O$于点 E,连结 CB,OE.
(1)求证：$\angle CAB= 2\angle BCD$；
(2)若$\angle BCD= 15^{\circ }$,$AB= 8$,求 CE 的长.

答案：
(1)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACD=90° - ∠BCD.
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC.
∵∠CAB + ∠ACD + ∠ADC=180°,
∴∠CAB + 90° - ∠BCD + 90° - ∠BCD=180°,
∴∠CAB=2∠BCD.
(2)如图,连结OC.
∵∠BCE=15°,
∴∠A=30°,∠BOE=30°,
∴∠COB=2∠A=60°.
∵∠COE=∠COB + ∠BOE=60° + 30°=90°,而OC=OE=4,
∴CE=$\sqrt{4^2 + 4^2}=4\sqrt{2}$.

16. 如图,在$\odot O$中,弦 AB,CD 互相垂直,垂足为 M,点 F 是$\widehat {BD}$上的一点,且$\widehat {BF}= \widehat {BC}$,AF 分别与 CD,BD 相交于点 E,N,连结 FD,MN.
(1)求证：$DE= DF$；
(2)若$\odot O$的半径为 8,$\angle BAF= 22.5^{\circ }$,求线段 MN 的长.

答案：
(1)
∵$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BAF=∠BDC.
∵AB⊥CD,
∴∠BAF + ∠AEC=90°,∠B + ∠BDC=90°,
∴∠AEC=∠B.
∵∠AEC=∠DEF,∠B=∠F,
∴∠DEF=∠F,
∴DE=DF.
(2)如图,连结AC,FC,OC,OF.
∵$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BDC=∠BDF.
∵DE=DF,
∴EN=NF.
∵∠ACD=∠B,∠AEC=∠B,
∴∠ACD=∠AEC,
∴AE=AC.
∵AB⊥CD,
∴EM=MC,
∴MN=$\frac{1}{2}$CF.
∵∠BAF=22.5°,
∴∠CDF=2∠BAF=45°,
∴∠COF=2∠CDF=90°,
∴FC=$8\sqrt{2}$,
∴MN=$4\sqrt{2}$.

17.(2024·陕西中考)如图,BC 是$\odot O$的弦,连结 OB,OC,$\angle A是\widehat {BC}$所对的圆周角,则$\angle A与\angle OBC$的和的度数是90°.

答案： 90°