《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

12. 如图,在正方形 ABCD 中,E 为边 BC 上任意一点,AF 平分$\angle EAD$,交 CD 于点 F.
(1)如图(1),若点 F 恰好为 CD 的中点,求证：$AE= BE+2CE$；
(2)在(1)的条件下,求$\frac{CE}{BC}$的值；
(3)如图(2),延长 AF 交 BC 的延长线于点 G,延长 AE 交 DC 的延长线于点 H,连结 HG,当 $CG= DF$ 时,求证：$HG \perp AG$.

答案：

(1)如图
(1)，延长BC交AF的延长线于点G。
∵AD//CG，
∴∠DAF = ∠G。又AF平分∠DAE，
∴∠DAF = ∠EAF，
∴∠G = ∠EAF，
∴EA = EG。
∵点F为边CD的中点，
∴CF = DF。又∠DFA = ∠CFG，∠FAD = ∠G，
∴△ADF≌△GCF，
∴AD = CG，
∴CG = BC = BE + CE，
∴EG = CG + CE = BE + CE + CE = BE + 2CE，
∴AE = BE + 2CE。
(2)设CE = a，BE = b，则AE = 2a + b，AB = a + b。在Rt△ABE中，$AB^{2}+BE^{2}=AE^{2}$，即$(a + b)^{2}+b^{2}=(2a + b)^{2}$，解得b = 3a或b = -a(舍去)。
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{a}{a + b}=\frac{1}{4}$。
(3)如图
(2)，连结DG。
∵DF = CG，∠ADF = ∠DCG，DA = DC，
∴△ADF≌△DCG，
∴∠CDG = ∠DAF，
∴∠HAF = ∠FDG。又∠AFH = ∠DFG，
∴△AFH∽△DFG，
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{FH}{FG}$。又∠AFD = ∠HFG，
∴△ADF∽△HGF。
∴∠ADF = ∠FGH。
∵∠ADF = 90°，
∴∠FGH = 90°，
∴AG⊥GH。思路引导　与中点有关的常用辅助线是延长与中点有关的线段，构造全等三角形。

13. 一线三等角模型 (2024·深圳龙岗区二模)如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,作 $EF \perp DE$ 交 BC 于点 F,对角线 AC 分别交 DE,DF 于点 G,H,当 $DH \perp AC$ 时,则$\frac{GH}{EF}$的值为______$\frac{\sqrt{30}}{9}$.

答案： $\frac{\sqrt{30}}{9}$　[解析]
∵四边形ABCD是矩形，设AD = a，AB = b，
∴∠DAE = ∠EBF = 90°，AD = BC = a，AB = DC = b，AB//CD，$AC = \sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
∵E是AB的中点，
∴$AE = BE=\frac{1}{2}b$。
∴$DE = \sqrt{AD^{2}+AE^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{b^{2}}{4}}$。
∵AE//CD，
∴△AEG∽△CDG。
∴$\frac{EG}{GD}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$。
∴$DG=\frac{2}{3}DE=\frac{2}{3}\sqrt{a^{2}+\frac{b^{2}}{4}}$。
∵∠ADC = ∠DCF = 90°，DH⊥AC，
∴∠ADF + ∠FDC = ∠ADF + ∠DAC = 90°，
∴∠FDC = ∠DAC，
∴△FDC∽△CAD，
∴$\frac{FC}{CD}=\frac{DC}{AD}$，
∴$FC=\frac{b^{2}}{a}$。
∵∠DEF = 90°，
∴∠ADE + ∠AED = 90° = ∠AED + ∠BEF，
∴∠ADE = ∠BEF，
∴△ADE∽△BEF。
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BF}$，
∴$BF=\frac{\frac{1}{4}b^{2}}{a}=\frac{b^{2}}{4a}$。
∴$FC = BC - BF = a - \frac{b^{2}}{4a}$。
∴$\frac{b^{2}}{a}=a - \frac{b^{2}}{4a}$。解得$a=\frac{\sqrt{5}}{2}b$或$a=-\frac{\sqrt{5}}{2}b$(舍去)。
∴$CF=\frac{b^{2}}{a}=\frac{b^{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}b}=\frac{2\sqrt{5}}{5}b$，$DG=\frac{2}{3}\sqrt{a^{2}+\frac{b^{2}}{4}}=\frac{2}{3}×\sqrt{\frac{5b^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{3}b$，$DF=\sqrt{DC^{2}+CF^{2}}=\sqrt{b^{2}+\frac{4b^{2}}{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}b$。
∵EF⊥DE，DH⊥AC，
∴∠DHG = ∠DEF = 90°。
∵∠HDG = ∠EDF，
∴△HDG∽△EDF。
∴$\frac{HG}{EF}=\frac{DG}{DF}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}b}{\frac{3\sqrt{5}}{5}b}=\frac{\sqrt{30}}{9}$。

14. 母子型 (1)[问题提出]如图(1),AB 为$\odot O$的直径,$AC \perp AB$,$AB= 16$,$AC= 6$,P 为$\odot O$上的一动点,连结 CP,求 CP 的最小值.
(2)[问题探究]如图(2),$AB \perp BC$,$AB= 2\sqrt{3}$,$BC= 2$,D 为$\angle ABC$内部一点,且满足$\angle ADB= 120^{\circ}$,求 CD 的最小值.
(3)[问题解决]如图(3),正方形 ABCD 是某社区的一块空地,经测量,$AB= 100\ \text{m}$. 社区管委会计划对该空地及周边区域进行重新规划利用,在射线 AD 上取一点 E,沿 BE,CE 修两条小路,并在小路 BE 上取点 F,将 CF 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道(通道宽度忽略不计). 根据设计要求,$\angle BFC= \angle BCE$,为了节省铺设成本,要求休闲通道 CF 的长度尽可能小,问 CF 的长度是否存在最小值？若存在,求出 CF 长度的最小值；若不存在,请说明理由.

答案：

(1)当C，P，O共线且点P在AB上方时，CP最小。
∵∠CAB = 90°，AO = OP = 8，AC = 6，
∴CO = 10，
∴CP最小 = CO - OP = 2。
(2)如图
(1)，作△ABD的外接圆O，过点O作OE⊥直线CB交CB延长线于点E，连结OA，OB，连结OC交圆O于点D'，
∴∠OEB = 90°。
∵∠ADB = 120°，
∴∠AOB = 120°。又$AB = 2\sqrt{3}$，易得OB = OD' = 2。
∵∠ABC = 90°，∠OBA = 30°\\，
∴∠OBE = 60°，
∴BE = 1，$OE=\sqrt{3}$。
∵BC =\\ 2，
∴$OC=\sqrt{OE^{2}+CE^{2}}=2\sqrt{3}$，
∴$CD' = CO - OD' = 2\sqrt{3}-2$，即CD的最小值为$2\sqrt{3}-2$。
(3)CF的长度存在最小值。理由如下:如图
(2)所示，连结AF，OF，OC，∠AFB = ∠EAB = 90°。
∵∠CBF = ∠EBC，∠BFC = ∠BCE，
∴△CBF∽△EBC，
∴$\frac{CB}{BE}=\frac{BF}{BC}$。
∵AB = BC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BF}{AB}$。又∠ABF = ∠EBA，
∴△ABF∽△EBA，
∴∠AFB = ∠EAB = 90°，则点F的运动轨迹是以O为圆心，AB为直径的半圆，且BO = OF = 50m。在Rt△BCO中，$CO=\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}=50\sqrt{5}m$，
∴CF长度的最小值为$CO - OF=(50\sqrt{5}-50)m$。