《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. 如图是某钢结构拱桥示意图,桥拱$\overset{\frown}{ADB}$可以近似看作圆弧,桥拱$\overset{\frown}{ADB}$和路面(弦 AB)之间用7根钢索相连,钢索均垂直路面 AB. 已知7根钢索将路面 AB 八等分,$AB= 40\ \text{m}$,最中间的钢索$CD= 10\ \text{m}.$
(1)求桥拱$\overset{\frown}{ADB}$所在圆的半径的长.
(2)距离 A 最近的钢索 MN 比 CD 短多少？

答案：
1.
(1)由题意，CD垂直平分AB，
∴圆心O在DC的延长线上，连结OA,OB.
设⊙O的半径为r，AC=BC=20，CD=10，
∴OC=r−10，
在Rt△AOC中，AC²+OC²=OA²，
∴20²+(r−10)²=r²，
解得r=25，
∴桥拱ADB所在圆的半径的长为25m.
(2)如图，连结OM，过O作OH⊥MN交MN的延长线于点H.

∵7根钢索将路面AB八等分，
∴CN=OH=15，OM=25，
在Rt△MOH中，MH=$\sqrt{OM^{2}-OH^{2}}$=$\sqrt{25^{2}-15^{2}}$=20.
∵OC=HN=15，
∴MN=MH−HN=20−15=5，
∴CD−MN=10−5=5，
即钢索MN比CD短5m.

2. 如图,$\odot O$是三角形 ABC 的外接圆,AD 是$\odot O$的直径,$AD\perp BC$于点 E.
(1)求证：$\angle BAD= \angle CAD$；
(2)若 BC 长为8,$DE= 3$,求$\odot O$的半径长.

答案：
2.
(1)
∵直径AD⊥弦BC，
∴BD=CD.
∵点A在圆上，
∴∠BAD=∠CAD.
(2)如图，连结OB.
∵直径AD⊥弦BC，BC=8，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=4，∠OEB=90°.
设圆的半径是x，则OB=x，OE=x−DE.
∵DE=3，
∴OE=x−3.
在Rt△BOE中，由勾股定理，得
x²−(x−3)²=4²，解得x=$\frac{25}{6}$.
∴⊙O的半径长为$\frac{25}{6}$.

3.(2025·天津河东区期中)如图,在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C,D 两点.
(1)求证：$AD= BC$；
(2)若$AC= 3$,大圆和小圆的半径分别为6和4,求 CD 的长.

答案：
3.
(1)作OH⊥CD于H，如图.
∵OH⊥CD，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AH−CH=BH−DH，
∴AC=BD，
∴AD=BC.
(2)如图，连结OC，设CH=x，
在Rt△OCH中，OH²=OC²−CH²=4²−x²，
在Rt△OAH中，OH²=OA²−AH²=6²−(3+x)²，
∴4²−x²=6²−(3+x)²，解得x=$\frac{11}{6}$，
∴CD=2CH=$\frac{11}{3}$.

4. 如图,$\odot O为\triangle ABC$的外接圆,CE 是$\odot O$的直径,$CD\perp AB$于点 D. 求证：$\angle ACD= \angle BCE$.

答案：
4.如图，连结BE.
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CBE=90°.
在Rt△CBE中，
∠E+∠BCE=90°.
又CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=90°.
在Rt△ACD中，∠A+∠ACD=90°.

又∠A=∠E，
∴∠ACD=∠BCE.