《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. 已知△ABC 的三边长分别为 6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF 的一边长为 4 cm,当△DEF 的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似(C).
A.2 cm,3 cm
B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm
D.6 cm,7 cm

答案： C　[解析]设△DEF的另两边长为xcm,ycm,若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm,则$\frac {4}{6}=\frac {x}{7.5}=\frac {y}{9}$，解得$x = 5,y = 6$；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，则$\frac {4}{7.5}=\frac {x}{6}=\frac {y}{9}$，解得$x = 3.2,y = 4.8$；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm,则$\frac {4}{9}=\frac {x}{6}=\frac {y}{7.5}$，解得$x = \frac {8}{3},y = \frac {10}{3}$。故选C；

2. (2025·金华永康期末)已知△ABC 的三边长为 1,$\sqrt{3}$,2,在下列给定条件中,△DEF 与△ABC 不一定相似的是(D).
A.$DE= 2$,$EF= 4$,$DF= 2\sqrt{3}$
B.$\angle D= 30^{\circ}$,$\angle E= 90^{\circ}$
C.$DE= 2$,$EF= 4$,$\angle E= 60^{\circ}$
D.$DE= 2$,$EF= 2\sqrt{3}$,$\angle F= 30^{\circ}$

答案： D

3. (2025·上海松江区一模)已知命题：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似；②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似.
下列对这两个命题的判断,正确的是(C).
A.①和②都是真命题
B.①和②都是假命题
C.①是真命题,②是假命题
D.①是假命题,②是真命题

答案： C

4. 如图,$\frac{BC}{CD}= \frac{4}{5}$,$AB= 4$,$AC= 6$,$BD= 7.5$,$BC= 5$. 求证：$\angle CAB= \angle CBD$.

答案：
∵AB = 4，AC = 6，BD = 7.5，BC = 5，
∴$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac {4}{5}$。
∵$\frac {BC}{CD}=\frac {4}{5}$，
∴$\frac {AC}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{CD}$，
∴△ABC∽△BCD，
∴∠CAB = ∠CBD。

5. 传统文化 象棋 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似(B).

A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

答案： B

6. 如图,AD 与 BC 相交于点 E,$AE:DE= AB:DC= \sqrt{2}:3$,若 $BE= 1$,则当 $EC= $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时,$\triangle ABE \sim \triangle DCE$.

答案： $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　[解析]因为AE:DE = AB:DC = $\sqrt{2}:3$，要使△ABE∽△DCE，只需BE:EC = $\sqrt{2}:3$。因为BE = 1，所以EC = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

7. 如果一个直角三角形的边长分别为 3,4,5,另一个与它相似的直角三角形的最小边长为 7,则另一个直角三角形的周长为28.

答案： 28

8. 如图,矩形 EFGH 内接于△ABC,且边 FG 落在 BC 上. 若 $BC= 3$,$AD= 2$,$EF= \frac{2}{3}EH$,那么 EH 的长为______$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$　[解析]设AD交EH于点M。
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC。
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{EH}{BC}$。设EH = 3x，则EF = 2x，AM = AD - EF = 2 - 2x，
∴$\frac{2 - 2x}{2}=\frac{3x}{3}$，解得$x = \frac{1}{2}$，则EH = $\frac{3}{2}$。

9. 在 6×6 的网格中,△ABC 的三个顶点都在格点上,我们把这种顶点在格点的三角形叫做格点三角形,请按要求完成下列作图.
(1)在图(1)网格中画出一个△ADE,使$\triangle ADE \sim \triangle ABC$,相似比为 1∶2,且各顶点都在格点上；
(2)在图(2)的网格中作出与△ABC 相似的最小格点三角形 FGH.

答案：

(1)如图
(1)，△ADE或△AD'E'即为所求。
(2)如图
(2)，△FGH即为所求。