《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

13. 如图(1)是一座抛物线型拱桥侧面示意图,水面宽AB与桥长CD均为24 m,在距离D点6米的E处,测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m,以桥拱顶点O为原点,桥面为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求桥拱顶部O离水面的距离;
(2)如图(2),桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式;
②为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,求彩带长度的最小值.

答案：
(1)设拱桥侧面所在二次函数表达式为y₁=a₁x²,将F(6,−1.5)代入,得−1.5=36a₁,解得a₁=−$\frac{1}{24}$
∴y₁=−$\frac{1}{24}$x²,
∴当x = 12时,y₁=−$\frac{1}{24}$×12²=−6.故桥拱顶部O离水面的距离为6m.
(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线顶点为(6,1)，
∴设其表达式为y₂=a₂(x - 6)²+1.将点H(0,4)代入表达式,得4=a₂(0 - 6)²+1,
∴a₂=$\frac{1}{12}$
∴y₂=$\frac{1}{12}$(x - 6)²+1.(左边抛物线表达式为y=$\frac{1}{12}$(x + 6)²+1)
②设彩带长度为h,则h=y₂ - y₁=$\frac{1}{12}$(x - 6)²+1 - (-$\frac{1}{24}$x²)=$\frac{1}{8}$x² - x + 4=$\frac{1}{8}$(x - 4)²+2.
∴当x = 4时,h最小值=2.故彩带长度的最小值是2m.

14.(2024·广西中考)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数$y= x^{2}+2ax+a-3$的最值问题展开探究.
[经典回顾]二次函数求最值的方法.
(1)老师给出$a= -4$,求二次函数$y= x^{2}+2ax+a-3$的最小值.
①请你写出对应的函数表达式.
②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值.
[举一反三]老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成如表:
| a | ... | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | ... |
| x | ... | * | 2 | 0 | -2 | -4 | ... |
| y的最小值 | ... | * | -9 | -3 | -5 | -15 | ... |

注：*为②的计算结果.
[探究发现]老师：“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现,老师给了a值后,我们只要取$x= -a$,就能得到y的最小值.”
乙同学：“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数表达式$y= x^{2}+2ax+a-3$,解释甲同学的说法是否合理.
(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.

答案：
(1)①y=x²−8x−7.
②
∵y=x²−8x−7=(x−4)²−23,
∴当x = 4时，函数有最小值，此时y值为−23.
(2)甲同学的说法合理.理由如下:
∵y=x²+2ax+a−3=(x+a)²−a²+a−3,
∴当x = −a时，函数y取得最小值.故甲同学的说法正确.
(3)乙同学的猜想正确.理由如下:由
(2)可知,当x = −a时,y取得最小值为−a²+a - 3=−(a - $\frac{1}{2}$)²−$\frac{11}{4}$.当a = $\frac{1}{2}$时，y的最小值中最大值为−$\frac{11}{4}$.