《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. (2025·上海青浦区一模)如图,在△ABC中,AC= BC,∠C= 36°,AD是△ABC的角平分线,则$\frac{AB}{BC}$为(C).

A.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

答案： C [解析]
∵AC=BC,∠C=36°,
∴∠B=∠BAC=72°.
∵AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD=36°,
∴∠BAD=∠C=∠CAD=36°,
∴AD=CD,∠ADB=72°,
∴AB=AD,
∴AB=AD=CD.
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA,
∴BD:AB=AD:AC.设BC=AC=a,BD=x,则AD=CD=AB=a - x,
∴$\frac{x}{a - x}=\frac{a - x}{a}$,
解得$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}a$(不符合题意，舍去)或$x=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}a$,
∴$AB=a - x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$,
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
故选C.

变式 1.1 (1)如图(1),在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,求证：$AC^2= AD·AB$；
(2)如图(2),在矩形ABCD中,AD= 2,点F在AB上,FB= 2AF,DF⊥AC于点E,求AE的长.

答案：
(1)
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠DCB+∠B=90°,
∴∠B=∠ACD.
∵∠A=∠A,
∴△CAD∽△BAC,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,
∴$AC^{2}=AD\cdot AB$.
(2)
∵FB=2AF,
∴AB=AF+BF=3AF.
在矩形ABCD中,AB//CD,AB=CD,∠ADC=90°,
∴△AFE∽△CDE,
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{CD}=\frac{1}{3}$,
∴CE=3AE,
∴AC=4AE.
∵DF⊥AC,由
(1)可知$AD^{2}=AE\cdot AC$,
∴AE=1.

变式 1.2 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B= 90°,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕将两个角(∠A,∠B)向内折起,点A,B恰好落在CD边的点F处,若AD= 3,BC= 5,则EF的长是(A).
A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{15}$
C.$\sqrt{17}$
D.$2\sqrt{17}$

答案： A

2. 在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示,点N在边AD上,现将矩形折叠,折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边DC上,则图中与△NDM一定相似的三角形是______△MCB.

答案： △MCB

变式 2.1 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(0,2),将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC,若反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点C,则k=$-\frac{32}{25}$.

答案： $-\frac{32}{25}$