《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. 已知关于 x 的一元二次方程 $x^{2}+bx+c= 0$.
(1) 当方程有两个相等的实数根时,求证:$b^{2}= 4c$;
(2) 一个不透明的袋中装有除数字外完全相同的 3 个小球,分别标有数字 1,2,4. 现从袋中随机摸出一个小球,记录标有的数字为 b,放回并摇匀,再随机摸出一个小球,记录标有的数字为 c. 请利用列表法或者树状图求摸出的 b,c 值恰好使得方程 $x^{2}+bx+c= 0$ 有两个相等的实数根的概率.

答案：
1.
(1)
∵方程$x^{2}+bx+c=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta =b^{2}-4× 1× c=b^{2}-4c=0$，
∴$b^{2}=4c$.
(2)画树状图如下:

共有9种等可能的结果，其中摸出的b,c值恰好使得方程$x^{2}+bx+c=0$有两个相等的实数根(即$b^{2}=4c$)的结果有2种，
∴摸出的b,c值恰好使得方程$x^{2}+bx+c=0$有两个相等的实数根的概率为$\frac{2}{9}$.

2. 某商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动,顾客只能从以下两种方案中选择一种:
方案一:购物每满 200 元减 66 元;
方案二:顾客购物达到 200 元可抽奖一次,具体规则是:在一个箱子内装有四张一样的卡片,四张卡片中有 2 张写着数字 1,2 张写着数字 5. 顾客随机从箱子内抽出两张卡片,两张卡片上的数字和记为 ω,ω 的值和享受的优惠如表所示.
| ω 的值 | 2 | 6 | 10 |
| 实际付款 | 8 折 | 7 折 | 6 折 |

(1) 若按方案二的抽奖方式,利用树状图(或列表法)求一次抽奖获得 7 折优惠的概率;
(2) 若某顾客的购物金额为 a 元($200 ＜ a ＜ 300$),请用所学统计与概率的知识,求出选择方案二更优惠时 a 的取值范围.

答案：
2.
(1)根据题意画图如下:

共有12种等可能的情况，其中一次抽奖获得7折优惠的有8种，
则一次抽奖获得7折优惠的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.
(2)由题意，得$a - 66 ＞ a×0.8×\frac{2}{12}+a×0.7×\frac{2}{3}+a×0.6×\frac{2}{12}$，解得$a ＞ 220$.
∵$200 ＜ a ＜ 300$，
∴$220 ＜ a ＜ 300$.

3. 在一个不透明的盒子中装有 3 个形状大小完全一样的小球,上面分别有标号 1,2,-1,用树状图或列表的方法解决下列问题:
(1) 将球搅匀,从盒中一次取出两个球,求其两标号互为相反数的概率.
(2) 将球搅匀,摸出一个球将其标号记为 k,放回搅匀后再摸出一个球,将其标号记为 b. 求直线 $y= kx+b$ 不经过第三象限的概率.

答案：
3.
(1)列表如下.

一共有6种情况，两次取出小球上的标号互为相反数的情况有2种，
所以两标号互为相反数的概率$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
(2)列表如下:

∵共有9种等可能的结果，其中$y = kx + b$不经过第三象限的有2种，
∴$P$（不经过第三象限）$=\frac{2}{9}$.