《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1.(2024·温州瑞安期末)如图,在△ABC 纸片中,∠A= 72°,∠B= 38°.将△ABC 纸片沿某直线剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC 相似的是(D).
A.①②
B.②④
C.③④
D.①③

答案： D

2.(2024·滨州中考)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是∠ADE=∠C(答案不唯一).(写出一种情况即可)

答案： ∠ADE=∠C(答案不唯一)

3. 教材 P133 作业题 T5·变式 (2025·嘉兴期末改编)如图,在△ABC 中,D 是 AB 边上的点,已知∠ADC= ∠ACB.求证:△ADC∽△ACB.

答案：
∵∠ADC=∠ACB,∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACB.

4.(2024·杭州滨江区期末)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,连结 AE,过点 B 作 BF⊥AE 于点 F.若 AB= 20,BC= 10,DE= 5,则 BF= (D).

A.15
B.16
C.4√5
D.8√5

答案： D [解析]
∵四边形ABCD是矩形,AB=20,BC=10,DE=5,
∴AD=BC=10,∠BAD=∠D=90°,
∴EA=√(AD²+DE²)=√(10²+5²)=5√5.
∵BF⊥AE于点F,
∴∠AFB=90°,
∴∠AFB=∠D,∠ABF=∠EAD=90°−∠BAE,
∴△ABF∽△EAD,
∴BF/AD=AB/EA,
∴BF=(AB·AD)/EA=(20×10)/(5√5)=8√5.故选D.

5. 如图,在△ABC 中,∠BAC 的平分线交 BC 于点 F.点 D,E 分别在 AB,AC 上,连结 DE 交 AF 于点 G.若∠AED= ∠B,AG:GF= 2:1,则 DE:BC= ______2:3.

答案： 2:3 [解析]
∵AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAF.
∵∠AED=∠B,
∴△AEG∽△ABF,∠AGE=∠AFB.
∵AG:GF=2:1,
∴AG:AF=2:3,
∴AE:AB=2:3.
∵∠DAE=∠CAB,∠AED=∠B,
∴△DAE∽△CAB,
∴DE:BC=AE:AB=2:3.

6. 如图,等边三角形 ABC 的边长为 3,点 P 为 BC 边上一点,且 BP= 1,点 D 为 AC 边上的一点,若∠APD= 60°,则 CD 的长为______2/3.

答案： 2/3

7.(2025·温州瑞安期末)如图,在△ABC 中,DE//BC,分别交边 AB,AC 于点 D,E,连结 DC,BE 交于点 F,若△DEF 的面积为 3,△ADE 的面积为 13,则 DE/BC 的值为______,△FBC 的面积为______.

答案：
5/8 7.68 [解析]
∵DE//BC,设点D到BC的高为h，
∴S△BCD=1/2BC·h=S△BCF+S△BDF，S△BCE=1/2BC·h=S△BCF+S△CEF，
∴S△BDF=S△CEF.
∵DE//BC,
∴△DEF∽△CBF,△ADE∽△ABC,
∴S△DEF/S△CBF=(DE/BC)²=3/S△CBF，S△ADE/S△ABC=(DE/BC)²=13/S△ABC，
∴3/S△CBF=13/S△ABC，
∴S△CBF/S△ABC=3/13.设S△CBF=3a，S△ABC=13a，
∴S△BDF=S△CEF=1/2(S△ABC−S△ADE−S△CBF−S△DEF)=1/2(13a−13−3a−3)=5a−8.如图所示，过点D作DH⊥BE于点H，
∴S△DEF=1/2EF·DH=3，S△BDF=1/2BF·DH=5a−8，
∴S△DEF/S△BDF=(1/2EF·DH)/(1/2BF·DH)=3/(5a−8)，
∴EF/BF=3/(5a−8).
∵△DEF∽△CBF，
∴DE/BC=EF/BF=3/(5a−8).
∵S△ADE/S△ABC=13/(13a)=(DE/BC)²=(3/(5a−8))²，
整理得1/a=9/(25a²−80a+64)，
∴25a²−89a+64=0，
∴a=(89±√((−89)²−4×25×64))/(2×25)=(89±39)/50，
解得a1=2.56，a2=1，
经检验，当a1=2.56，a2=1时，原分式方程有意义，
当a=2.56时，S△BDF=5a−8=5×2.56−8=4.8；
当a=1时，S△BDF=5a−8=5×1−8=−3，不符合题意，舍去，
∴a=2.56.
∵DE/BC=EF/BF=3/(5a−8)=3/4.8=5/8，
∴S△CBF=3a=3×2.56=7.68.

8.(2024·嘉兴桐乡期末)如图,AC 是平行四边形 ABCD 的对角线,在 AD 边上取一点 F,连结 BF 交 AC 于点 E,并延长 BF 交 CD 的延长线于点 G.
(1)若∠ABF= ∠ACF,求证$:CE^2= EF·EG;$
(2)若 DG= DC,BE= 7,求 EF 的长.

答案：
(1)
∵AB//CG,
∴∠ABF=∠G.又∠ABF=∠ACF,
∴∠ECF=∠G.又∠CEF=∠GEC,
∴△ECF∽△EGC,
∴CE/GE=FE/CE,即CE²=EF·EG.
(2)
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD.又DG=DC,
∴AB=CD=DG,
∴AB:CG=1:2.
∵AB//CG,
∴AB/CG=BE/GE=1/2,即7/EG=1/2,
∴EG=14,BG=21.
∵AB//DG,
∴BF/GF=AB/DG=1,
∴BF=1/2BG=21/2,
∴EF=BF−BE=21/2−7=7/2.