《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

11.(2025·绍兴嵊州期中)如图,$D$,$E分别是\odot O的半径OA$,$OB$上的点,且$CD\perp OA$,$CE\perp OB$,垂足分别为$D$,$E$,$CD= CE$. 求证：$C是\widehat{AB}$的中点.

答案：
∵CD⊥OA,CE⊥OB,
∴∠CDO=∠CEO=90°.
在Rt△COD和Rt△COE中，$\left\{\begin{array}{l} CO=CO,\\ CD=CE,\end{array}\right.$
∴Rt△COD≌Rt△COE(HL),
∴∠AOC=∠BOC,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，即C是$\overset{\frown}{AB}$的中点.

12.(2024·杭州萧山区期中)如图,已知$\odot O$的半径长为1,$AB$,$AC是\odot O$的两条弦,且$AB= AC$,$BO的延长线交AC于点D$,连结$OA$,$OC$.
(1)求证：$\triangle AOB\cong\triangle AOC$；
(2)当$BA= BD$时,求弧$AB$的度数.

答案：
(1)在△AOB和△AOC中.
∵OA=OA,AB=AC,OB=OC,
∴△AOB≌△AOC.
(2)由
(1),得∠OAB=∠OAC=∠OBA,
∴∠BAD=∠OAB+∠OAC=2∠ABD.
∵BA=BD,
∴∠BDA=∠BAD=2∠ABD.
在△ABD中，
∵∠BDA+∠BAD+∠ABD=180°,
即5∠ABD=180°,
∴∠ABD=36°,
∴∠AOB=108°,
∴弧AB的度数为108°.

13. 在$\odot O$中,半径为8.
(1)如图(1),若$B为\widehat{AC}$上一个点(不与$A$,$C$重合),且$\widehat{AC}的度数为90^\circ$,若$E为弦AB$的中点,$F为弦BC$的中点,求$EF$的长；
(2)如图(2),若$\widehat{AB}的度数为60^\circ$,$\widehat{CD}的度数为120^\circ$,$\widehat{BD}的度数为60^\circ$,点$E为弦AB$的中点,点$F为弦CD$的中点,求$EF$的长.

答案：

(1)连结AC,如图
(1).
∵$\overset{\frown}{AC}$的度数为90°,
∴∠AOC=90°.
∵OA=OC=8,
∴AC=$\sqrt{OA^2+OC^2}=8\sqrt{2}$
∵E为弦AB的中点,F为弦BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$4\sqrt{2}$.
(2)连结OE,过点F作FH⊥EO交EO的延长线于H,连结OF,如图
(2).
∵$\overset{\frown}{AB}$的度数为60°.
∴∠AOB=60°,
∵点E为弦AB的中点，
∴∠EOB=30°,OE⊥AB,
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=4,
∴OE=$\sqrt{OB^2-BE^2}=4\sqrt{3}$
∵$\overset{\frown}{CD}$的度数为120°,
∴∠COD=120°.
∵OC=OD,点F为弦CD的中点，
∴OF⊥CD,∠ODF=30°,
∴OF=$\frac{1}{2}$OD=4,∠DOF=60°.
∵$\overset{\frown}{BD}$的度数为60°,
∴∠BOD=60°,
∴∠EOD=90°,
∴∠FOH=180°−∠EOD−∠DOF=30°,
∴HF=$\frac{1}{2}$OF=2.
∴OH=$\sqrt{OF^2-HF^2}=2\sqrt{3}$,
∴EH=OE+OH=$6\sqrt{3}$,
∴EF=$\sqrt{EH^2+HF^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+2^2}=4\sqrt{7}$.