《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

8.(2024·杭州观成实验学校期中)如图,点 C 为半圆的中点,AB 是直径,点 D 是半圆上一点,AC,BD 交于点 E,若 AD= 1,BD= 7,则 CE 的长为______$\frac{15}{4}$.

答案： $\frac{15}{4}$ [解析]
∵AB为直径，
∴$\angle ACB=\angle ADB=90^{\circ}$。
∵在$Rt\triangle ABD$中，$AD = 1$，$BD = 7$，
∴$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{1^{2}+7^{2}}=5\sqrt{2}$。
∵点C为半圆的中点，
∴$AC = BC$，
∴在$Rt\triangle ABC$中，$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
∴$2BC^{2}=50$，
∴$BC = AC = 5$。
∵$\angle ACB=\angle ADB$，$\angle BEC=\angle AED$，
∴$\triangle BEC\backsim\triangle AED$，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}=\frac{5}{1}$。
∴$\begin{cases} CE = 5DE, \\ 7 - DE = 5(5 - CE), \end{cases}$
∴$\begin{cases} DE=\frac{3}{4}, \\ CE=\frac{15}{4}. \end{cases}$

9.(2024·杭州文澜中学期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,把 Rt△ABC 沿斜边 AB 折叠,得到△ABD,过点 D 作 DE⊥CA 交 CA 的延长线于点 E,过点 C 作 CN//AD,分别交 AB,BD 于点 M,N,若 CM= 3,DE= $2\sqrt{2}$,则$\frac{BM}{AM}$= ______$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$ [解析]连结DM并延长交BC于点F。
∵CM//AD，
∴$\angle DAM=\angle CMA$。又由折叠性质，可得$CA = AD$，$\angle DAM=\angle CAM$，
∴$\angle CAM=\angle CMA$，
∴$CA = CM$，
∴$CM = AD$，
∴四边形ACMD为平行四边形，$AD = CM = 3$，
∴DM//EC，即DF//EC。又$\angle ECB =90^{\circ}$，
∴$\angle DFC =90^{\circ}$。又$\angle E =90^{\circ}$，
∴四边形DFCE为矩形，
∴$DE = FC = 2\sqrt{2}$，
∴在$Rt\triangle MCF$中，$FM=\sqrt{CM^{2}-FC^{2}}=\sqrt{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=1$。由折叠性质，可得$\angle ADB=\angle ACB=90^{\circ}$。又CM//AD，
∴$\angle BNM=\angle ADB=90^{\circ}$。又$MF\perp BC$，BA为$\angle DBC$的平分线，
∴$NM = FM = 1$。
∵MN//AD，
∴$\triangle BNM\backsim\triangle BDA$，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{NM}{AD}=\frac{1}{3}$。设$BM = k$,$BA = 3k$，则$AM = 3k - k = 2k$，
∴$\frac{BM}{AM}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$。

10.(2025·四川乐山期末)已知:如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,AD= AC,DE⊥BC,DE与 AB 相交于点 E,EC 与 AD 相交于点 F.
(1)求证:△ABC∽△FCD；
(2)求证:AF= DF；
(3)若△FCD的面积为5,BC= 10,求 DE 的长.

答案：

(1)在$\triangle ABC$中，D是BC的中点，$AD = AC$，$DE\perp BC$，
∴$BD = CD$，$\angle ACB=\angle FDC$，
∴$EB = EC$，
∴$\angle ABC=\angle FCD$，
∴$\triangle ABC\backsim\triangle FCD$；
(2)
∵$\triangle ABC\backsim\triangle FCD$，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{CD}$。
∵$AD = AC$，$BC = 2CD$，
∴$\frac{AD}{DF}=2$，
∴$AF = DF$；
(3)$\triangle FCD$的面积为5，$BC = 10$，如图，作$AM\perp BC$于M，
　　　　　　　　　
∵$\triangle ABC\backsim\triangle FCD$，
∴$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle FCD}}=2^{2}=4$，
∴$S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle FCD}=20$。
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AM=\frac{1}{2}×10\cdot AM$，
∴$AM = 4$，
∴$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{5}{2}$，$BM=\frac{15}{2}$。
∵DE//AM，
∴$\frac{DE}{AM}=\frac{BD}{BM}$，
∴$DE\cdot BM = AM\cdot BD$，即$\frac{15}{2}DE = 4×5$，
∴$DE=\frac{8}{3}$。

11.实验班原创 如图,AB⊥BD 于点 B,ED⊥BD于点 D,点 C 为 BD 上一点,AC⊥CE.F,G分别为 AC,CE 的中点,AB= 2,DE= 4,BD= 6.求$\frac{BF}{DG}$的值.

答案：
∵$AB\perp BD$，$ED\perp BD$，
∴$\angle ABC=\angle CDE=90^{\circ}$，
∴$\angle A+\angle ACB=90^{\circ}$。
∵$AC\perp CE$，
∴$\angle ACE=90^{\circ}$，
∴$\angle ACB+\angle ECD=180^{\circ}-\angle ACE=90^{\circ}$，
∴$\angle ECD=\angle A$，
∴$\triangle ABC\backsim\triangle CDE$，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}$。
∵$AB = 2$，$DE = 4$，$BD = 6$，
∴$\frac{2}{6 - BC}=\frac{BC}{4}$，解得$BC = 2$或$BC = 4$。经检验$BC = 2$或4都为原分式方程的解。当$BC = 2$时，$CD = 4$，
∵$AB = 2$，$DE = 4$，
∴在$Rt\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=2\sqrt{2}$，在$Rt\triangle CDE$中，$CE=\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}=4\sqrt{2}$。又F，G分别为AC，CE的中点，
∴$BF=\sqrt{2}$，$DG=2\sqrt{2}$，
∴$\frac{BF}{DG}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。当$BC = 4$时，$CD = 2$。
∵$AB = 2$，$DE = 4$，
∴在$Rt\triangle ABC$中，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=2\sqrt{5}$，在$Rt\triangle CDE$中，$CE=\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}=2\sqrt{5}$。又F，G分别为AC，CE的中点，
∴$BF=\sqrt{5}$，$DG=\sqrt{5}$，
∴$\frac{BF}{DG}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$。综上所述，$\frac{BF}{DG}$的值为1或$\frac{1}{2}$

12.(2024·宁波期末)如图(1),在4×4 的正方形网格中,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点均在格点上,仅用无刻度的直尺在给定网格中画图(保留作图痕迹).
(1)在图(2)中画△DEF,使得△DEF与△ABC 的相似比为$1:\sqrt{2}$;
(2)在图(3)中画出△ABC 的重心 O.

答案：

(1)如图
(1)所示，$\triangle DEF$即为所求；
(2)如图
(2)所示，点O即为所求。