《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

10.(2024·唐山丰南区模拟)如图,在正十边形中,连结$A_{1}A_{4},A_{1}A_{7}$,则$∠A_{4}A_{1}A_{7}= $ _ .
]

答案：
$54^{\circ }$　[解析]如图，设正十边形内接于$\odot O$，
连结$A_{7}O,A_{4}O.$
∵正十边形的各边都相等，
∴$∠A_{7}OA_{4}=\frac {3}{10}×360^{\circ }=108^{\circ },$
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴$∠A_{4}A_{1}A_{7}=\frac {1}{2}×108^{\circ }=54^{\circ }.$

11. 实验班原创 如图,将边长为 2 的正五边形 ABCDE 沿对角线 BE 折叠,使点 A 落在正五边形内部的点 M 处,则下列说法正确的个数为 _ .
①$AB// ME$;②$∠DEM= 36^{\circ }$;③若连结 CM,则$∠CMB+∠BME= 180^{\circ }.$

答案：
3　[解析]在正五边形ABCDE中，
$AB = AE.$
又正五边形ABCDE沿对角线BE折叠，
∴$AB = BM,AE = ME,∠AEB = ∠BEM,∠ABE = ∠EBM,$
∴$AB = BM = AE = ME,$
∴四边形ABME是菱形，
∴$AB// EM$，故①正确；
在正五边形ABCDE中，
$∠BAE = ∠AED = ∠ABC = 108^{\circ },AB = AE,$
∴$∠AEB = ∠BEM=\frac {1}{2}×(180^{\circ }-108^{\circ })=36^{\circ },$
∴$∠DEM = ∠AED - ∠AEB - ∠BEM = 36^{\circ }$，故②正确；
同理$∠CBM = 36^{\circ }.$
如图，连结CM.
在正五边形ABCDE中，$AB = BC.$
又正五边形ABCDE沿对角线BE折叠，
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴$AB = BM,$
$∠BME = ∠BAE = 108^{\circ }.$
∵$BC = BM$，
∴$∠BMC = ∠BCM,$
∴$∠BMC=\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠CBM)=72^{\circ },$
∴$∠CMB + ∠BME = 180^{\circ }$，故③正确.

12. 如图,边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起,则$∠ABC$的度数为$24^{\circ }$.

答案： $24^{\circ }$　[解析]由题意可得正五边形的每个内角为$(5 - 2)×180^{\circ }÷5 = 108^{\circ }$，正六边形的每个内角为$(6 - 2)×180^{\circ }÷6 = 120^{\circ }$，
则$∠BAC = 360^{\circ }-108^{\circ }-120^{\circ }=132^{\circ }.$
∵$AB = AC,$
∴$∠ABC=\frac {1}{2}×(180^{\circ }-132^{\circ })=24^{\circ }.$

13. 如图,正六边形 ABCDEF 内接于$\odot O$,P 为$\widehat {AB}$上的一点(点 P 不与点 A,B 重合),则$∠CPE$的度数为 $60^{\circ }$.

答案： $60^{\circ }$　[解析]
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴$∠CDE = 180^{\circ }-\frac {360^{\circ }}{6}=120^{\circ }.$
∵P为$\widehat {AB}$上的一点(点P不与点A，B重合)，
∴$∠CPE = 180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$

14. 将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放.那么$∠1+∠2+∠3= $$102^{\circ }$.

答案： $102^{\circ }$

15. 实验班原创 六个带$30^{\circ }$角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为 10,则中间正六边形的面积为 _ .

答案：
$150\sqrt {3}$　[解析]如图，
∵$△ABG\cong △BCH,$
∴$AG = BH.$
∵$∠ABG = 30^{\circ },$
∴$BG = 2AG,$
　　　　　　　　　　　　　　　　　
即$BH + HG = 2AG,$
∴$HG = AG = 10,$
连结中间正六边形的对角线，分为6个等边三角形，
∴中间正六边形的面积$=6×\frac {1}{2}×10×5\sqrt {3}=150\sqrt {3}.$

16. 如图,在边长为$6\sqrt {3}$的正六边形 ABCDEF 中,连结 BE,CF,其中点 M,N 分别为 BE 和 CF 上的动点. 若以 M,N,D 为顶点的三角形是等边三角形,且边长为整数,则该等边三角形的边长为 _ .
]

答案：
9或10或18　[解析]如图
(1)，连结DF，DB，BF，当点M，N分别与点B，F重合时，$△MND$是等边三角形.设BE交DF于点J.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴由对称性可知$DF⊥BE,∠JEF = 60^{\circ },EF = ED = 6\sqrt {3},$
∴$FJ = DJ = 6\sqrt {3}×\frac {\sqrt {3}}{2}=9,$
∴$DF = 18$，即$△DMN$的边长为18.
　
如图
(2)，当点N在OC上，点M在OE上，$DM⊥BE$时，等边三角形DMN的边长取得最小值为$6\sqrt {3}×\frac {\sqrt {3}}{2}=9.$
当点M与点E重合或点N与点C重合时，等边三角形DMN的边长取得最大值为$6\sqrt {3}\approx 10.39.$
∴$△DMN$的边长为整数时，边长为10或9.
综上所述，等边三角形DMN的边长为9或10或18.

17. 如图,已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心,G,H 分别是 AF,BC 上的点,且$AG= BH.$
(1)求$∠FAB$的度数;
(2)求证:$OG= OH.$
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答案：

(1)
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴$∠FAB=\frac {(6 - 2)×180^{\circ }}{6}=120^{\circ }.$
(2)如图，连结OA，OB.
　　　　　　　
∵$OA = OB$，
∴$∠OAB = ∠OBA.$
∵$∠FAB = ∠CBA,$
∴$∠OAG = ∠OBH.$
在$△AOG$和$△BOH$中，
$\begin{cases}AG = BH\\∠OAG = ∠OBH\\OA = OB\end{cases}$
∴$△AOG\cong △BOH(SAS),$
∴$OG = OH.$

18. 如图,点 M,N 分别是正八边形 ABCDEFGH 的边 BC,CD 上的点,且$BM= CN$,AM 交 BN 于点 P.
(1)求证:$△ABM\cong △BCN;$
(2)求$∠APN$的度数.
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答案：
(1)
∵八边形ABCDEFGH为正八边形，
∴$AB = BC,∠ABM = ∠C.$
在$△ABM$和$△BCN$中，
$\begin{cases}AB = BC\\∠ABM = ∠C\\BM = CN\end{cases}$
∴$△ABM\cong △BCN(SAS).$
(2)
∵$△ABM\cong △BCN$，
∴$∠BAM = ∠CBN.$
∵$∠BAM + ∠ABP = ∠APN,$
∴$∠APN = ∠CBN + ∠ABP = ∠ABC=\frac {(8 - 2)×180^{\circ }}{8}=135^{\circ }$，即$∠APN$的度数为$135^{\circ }.$