《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. 已知 A,B 是抛物线上的点,它们的坐标分别为(1,3),(5,3),则该抛物线的对称轴为直线x=3.

答案： x=3 解析
∵两点(1,3),(5,3)的纵坐标相同,都是3,
∴抛物线的对称轴为直线x=(1+5)/2=3.

2. 已知抛物线的对称轴为直线 x= -3,与 x 轴的两个交点间的距离为 8,则这两个交点坐标分别为(-7,0),(1,0).

答案： (-7,0),(1,0) 解析
∵对称轴为直线x=-3,
∴对称轴与x轴的交点为(-3,0).又两个交点间的距离为8,
∴左边的交点的横坐标为-3-4=-7,右边的交点的横坐标为-3+4=1.故两个交点的坐标为(-7,0),(1,0).

3. 已知二次函数$ y= ax^2+bx+2,$当 x= 1 与 x= 2024 时,函数值相等.则当 x= 2025 时,函数值等于______.
2

答案： 2 解析
∵当x=1与x=2024时,函数值相等,
∴对称轴为直线x=(1+2024)/2=1012.5,
∴x=2025与x=0的函数值相等.
∵当x=0时,y=2,
∴当x=2025时,y=2.

4. 已知当 x= 2m+n+2 和 x= m+2n 时,函数$ y= x^2+4x+6 $的值相等,且 m-n+2≠0,求当 x= 3(m+n+1)时的函数值.

答案：
∵m-n+2≠0,
∴2m+n+2≠m+2n.
∵当x=2m+n+2和x=m+2n时,函数y=x²+4x+6的值相等,
∴二次函数y=x²+4x+6的对称轴为直线x=(2m+n+2+m+2n)/2=(3m+3n+2)/2.又二次函数y=x²+4x+6=(x+2)²+2的对称轴为直线x=-2,
∴(3m+3n+2)/2=-2,
∴3m+3n+2=-4,
∴m+n=-2,
∴当x=3(m+n+1)=3×(-2+1)=-3时,y=(-3)²+4×(-3)+6=3.

5. 设$ A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$是抛物线$ y= 3(x+1)^2+4m(m $为常数)上的三点,则$ y_1,y_2,y_3 $的大小关系为(A).
$A. y_1＜y_2＜y_3$
$B. y_2＜y_1＜y_3$
$C. y_3＜y_1＜y_2$
$D. y_3＜y_2＜y_1$

答案： A 解析
∵抛物线y=3(x+1)²+4m(m为常数)的开口向上,对称轴为直线x=-1,而C(2,y₃)离直线x=-1的距离最远,A(-2,y₁)离直线x=-1的距离最近,
∴y₁＜y₂＜y₃.故选A.

6. 设$ A(-3,y_1),B(0,y_2),C(4,y_3)$是抛物线$ y= -(x+2)^2+a $上的三点,则$ y_1,y_2,y_3 $的大小关系为y₃＜y₂＜y₁.(用“＜”连接)

答案： y₃＜y₂＜y₁ 解析
∵抛物线y=-(x+2)²+a开口向下,对称轴为直线x=-2,而C(4,y₃)离直线x=-2的距离最远,故y₃最小,A(-3,y₁)离直线x=-2的距离最近,故y₁最大.

7. 已知抛物线$ y= ax^2+bx+c $的对称轴是直线 x= 2,且经过点(1,4)和点(5,0),求这个抛物线的表达式.

答案： 由题意,可设抛物线的表达式为y=a(x-2)²+k.把(1,4),(5,0)代入,得{a+k=4,9a+k=0,解得{a=-1/2,k=9/2.
∴这个抛物线的表达式为y=-(1/2)(x-2)²+9/2,即y=-(1/2)x²+2x+5/2.

8. 已知一条抛物线的形状与开口方向和$ y= 2x^2$相同且对称轴为直线 x= -1,并与 y 轴交于一点(0,-1),求该抛物线的表达式.

答案： 根据题意,设函数表达式为y=2(x+1)²+k,把(0,-1)代入,得2+k=-1,解得k=-3,
∴该抛物线表达式为y=2(x+1)²-3=2x²+4x-1.

9. 如图,正方形的边长为 4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数$ y= 1/4x^2 $与$ y= -1/4x^2 $的图象,则阴影部分的面积是______.

8

答案： 8 解析
∵函数y=(1/4)x²与y=-(1/4)x²的图象关于x轴对称,
∴题图阴影部分的面积是题图正方形面积的一半,而边长为4的正方形面积为16,所以题图中阴影部分的面积是8.

10. 如图,矩形 ABCD 的长 AB= 6 cm,宽 AD= 3 cm.O 是 AB 的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为 AO 与 OB.抛物线$ y= ax^2 $经过 C,D 两点,则图中阴影部分的面积是$\frac{9}{8}\pi$$cm^2.$

答案： (9/8)π