《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

11. (2025·宁夏银川十五中期末)将抛物线$y= 2(x+1)^{2}-3$向右平移1个单位,再向上平移b个单位,所得抛物线与$y= ax^{2}$重合,则$a+b= $5.

答案： 5 [解析]抛物线y=2(x+1)²−3向右平移1个单位，再向上平移b个单位，所得抛物线的表达式为y=2(x+1−1)²−3+b。
∵平移后的抛物线与y=ax²重合，
∴a=2，b−3=0，
∴b=3，
∴a+b=2+3=5。

12. (2024·杭州滨江区滨和中学期中)在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点为$(1,4)$,且过点$(-1,0).$
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)求将抛物线向左平移几个单位,可使得平移后所得抛物线经过原点?

答案：
(1)设抛物线的表达式为y=a(x−1)²+4，把(−1,0)代入得a(−1−1)²+4=0，解得a=−1，所以抛物线的表达式为y=−(x−1)²+4。
(2)设将抛物线向左平移m(m＞0)个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，则平移后的抛物线表达式为y=−(x−1+m)²+4，把(0,0)代入得−(0−1+m)²+4=0，解得m₁=3，m₂=−1(舍去)，
∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点。

13. 已知抛物线$y= a(x-2)^{2}+c经过点A(-2,0)和点C(0,\frac {9}{4})$,与x轴交于另一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的表达式,并写出顶点 D 的坐标;
(2)如图,点 E,F 分别在线段AB,BD 上(点 E 不与点 A,B 重合),且$∠DEF= ∠DAB,DE= EF$,直接写出线段 BE 的长.

精题详解

答案：
(1)将A(−2,0)，C(0,$\frac{9}{4}$)代入y=a(x−2)²+c中，得$\begin{cases}16a + c = 0 \\ 4a + c = \frac{9}{4} \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = -\frac{3}{16} \\ c = 3 \end{cases}$，
∴抛物线的表达式为y=−$\frac{3}{16}$(x−2)²+3。
∴顶点D的坐标为(2,3)。
(2)当y=0时，−$\frac{3}{16}$(x−2)²+3=0，解得x₁=−2，x₂=6，
∴A(−2,0)，B(6,0)。
∵∠DEB=∠DEF+∠BEF=∠DAB+∠ADE，∠DEF=∠DAB，
∴∠ADE=∠BEF。
∵AD=$\sqrt{(2 + 2)² + 3²}$=5，BD=$\sqrt{(6 - 2)² + 3²}$=5，
∴AD=BD。
∴∠DAE=∠EBF。
∵DE=EF，
∴△ADE≌△BEF。
∴BE=AD=5。

14. 数形结合思想 如图,在平面直角坐标系 xOy中,抛物线$y= x^{2}+\frac {1}{4}$与y轴相交于点A,点 B 与点 O 关于点 A 对称.
(1)点 B 的坐标为______;

精题详解
(2)过点 B 的直线$y= kx+b(k＜0)$与 x 轴相交于点 C,过点 C 作直线 l 平行于 y 轴,P 是直线 l 上一点,且$PB= PC$,求线段 PB 的长(用含 k 的式子表示),并判断点 P 是否在该抛物线上,说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点 C 关于直线 BP 的对称点$C'$恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点 P 的坐标.

答案：

(1)(0,$\frac{1}{2}$) [解析]
∵抛物线y=x²+$\frac{1}{4}$与y轴相交于点A，
∴点A的坐标为(0,$\frac{1}{4}$)。
∵点B与点O关于点A对称，
∴BA=OA=$\frac{1}{4}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$，即点B的坐标为(0,$\frac{1}{2}$)。
(2)点P在该抛物线上。理由如下：
∵点B的坐标为(0,$\frac{1}{2}$)，
∴直线BC的函数表达式为y=kx+$\frac{1}{2}$。令y=0，得kx+$\frac{1}{2}$=0，解得x=−$\frac{1}{2k}$，
∴OC=−$\frac{1}{2k}$。
∵PB=PC，
∴点P只能在x轴上方。如图
(1)，过点B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，则BD=OC=−$\frac{1}{2k}$，CD=OB=$\frac{1}{2}$。
∴PD=PC−CD=m−$\frac{1}{2}$。在Rt△PBD中，由勾股定理，得PB²=PD²+BD²，即m²=(m−$\frac{1}{2}$)²+(−$\frac{1}{2k}$)²，解得m=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4k²}$，
∴PB=PC=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4k²}$。
∴点Pの坐标为(−$\frac{1}{2k}$,$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4k²}$)。把x=−$\frac{1}{2k}$代入y=x²+$\frac{1}{4}$得y=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4k²}$，
∴点P在该抛物线上。
　　　　　　　　　
(3)如图
(2)，连结CC'。
∵l//y轴，
∴∠OBC=∠PCB。又PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC。
∴∠PBC=∠OBC。
∵点C，C'关于BP对称，且点C'在抛物线的对称轴上，即在y轴上，
∴∠PBC=∠PBC'。
∴∠OBC=∠PBC=∠PBC'=60°。
∴∠BCO=30°，△BCP是等边三角形。
∵OB=$\frac{1}{2}$，
∴PC=BC=1。
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
∴点P的坐标为($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1)。
　　　　　　　　　　　
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半