《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. (2024·西安模拟)某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究,如图(1),将变阻器 R 的滑片从一端滑到另一端,绘制出变阻器 R 消耗的电功率 P 随电流 I 变化的关系图象,如图(2)所示,且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分,则变阻器 R 消耗的电功率 P 最大为(D).


A.160 W
B.180 W
C.200 W
D.220 W

答案： D [解析] 由图象是经过原点的一条抛物线的一部分,设抛物线表达式为 $ P=aI^{2}+bI $,把(1,165),(4,0)代入,得$ \begin{cases} a+b=165, \\ 16a+4b=0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a=-55, \\ b=220. \end{cases} $
∴抛物线表达式为 $ P=-55I^{2}+220I=-55(I-2)^{2}+220 $.
∵-55＜0,
∴当$ I=2 $时,P取最大值220,
∴变阻器R消耗的电功率P最大为220 W.故选D.

2. (2024·嘉兴期末)某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)满足二次函数 $ y= 0.04x^{2} $(x＞0),若该车某次的刹车距离为 9 m,则开始刹车时的速度为15m/s.

答案： 15 [解析] 当刹车距离为9m时,即可得$ y=9 $.将$ y=9 $代入$ y=0.04x^{2} $,得$ 9=0.04x^{2} $,解得$ x_{1}=15,x_{2}=-15 $(舍去),故开始刹车时的速度为15 m/s.
易错警示 二次函数转化为二次方程时,需要注意未知数的取值范围.

3. 跨学科 小球运动 根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出,小球的飞行高度 h(单位:m)与飞行时间 t(单位:s)之间的函数关系是:$ h= -5t^{2}+20t $,则小球运动中的最大高度是20m.

答案： 20 [解析]$ h=-5t^{2}+20t=-5(t-2)^{2}+20 $.
∵-5＜0,
∴当$ t=2 $时,h有最大值,最大值为20.
归纳总结 求最值的方法可用配方法或公式法.一般地,当$ a＞0 $(或$ a＜0 $)时,抛物线$ y=ax^{2}+bx+c(a≠0) $的顶点是最低(高)点,也就是说,当$ x=-\frac{b}{2a} $时,二次函数$ y=ax^{2}+bx+c(a≠0) $有最小(大)值$ \frac{4ac-b^{2}}{4a} $.

4. 新情境 销售有机大米 金秋十月,某农业合作社有机水稻再获丰收,加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售.该有机大米成本为每千克 14 元,销售价格不低于成本,且不超过 25 元/千克,根据各销售渠道的反馈,发现该有机大米一天的销售量 y(千克)是该天的售价 x(元/千克)的一次函数,部分情况如下表:
|售价 x(元/千克)|14|16|18|…|
|销售量 y(千克)|800|700|600|…|

(1)求一天的销售量 y(千克)与售价 x(元/千克)之间的函数表达式并写出 x 的取值范围.
(2)若某天销售这种大米获利 2400 元,那么这天该大米的售价为多少?
(3)该有机大米售价定为多少时,当天获利 w 最大?最大利润为多少?

答案：
(1)设一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)之间的函数表达式为$ y=kx+b $,将(14,800),(16,700)代入,得$ \begin{cases} 14k+b=800, \\ 16k+b=700, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k=-50, \\ b=1500. \end{cases} $故一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)之间的函数表达式为$ y=-50x+1500(14≤x≤25) $.
(2)由题意,得$ (-50x+1500)(x-14)=2400 $,解得$ x=26 $或$ x=18 $.
∵14≤x≤25,
∴$ x=18 $.故这天该大米的售价为18元/千克.
(3)设销售利润为w元.由题意,得$ w=y(x-14)=(-50x+1500)(x-14)=-50x^{2}+2200x-21000=-50(x-22)^{2}+3200 $.
∵-50＜0,14≤x≤25,
∴$ x=22 $时,w取得最大值,最大值为3200.故该有机大米售价定为22元/千克时,当天获利最大,最大利润为3200元.

5. (2024·吉林长春外国语学校月考)如图是一款抛物线型落地灯筒示意图,防滑螺母 C 为抛物线支架的最高点,灯罩 D 距离地面 2.25 米,最高点 C 距灯柱 AB 的水平距离为 1.5 米,灯柱 AB 为 1.5 米,若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离 AE 为( ).


A.2.25 米
B.0.75 米
C.1.6 米
D.2.5 米

答案：
A [解析] 如图所示,以AE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.　　　　　 根据题意,知抛物线的顶点C的坐标为(1.5,2.5).设抛物线的表达式为$ y=a(x-1.5)^{2}+2.5 $,将B(0,1.5)代入,得$ 2.25a+2.5=1.5 $,解得$ a=-\frac{4}{9} $,
∴抛物线的表达式为$ y=-\frac{4}{9}(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{5}{2} $.当$ y=2.25 $时,$ -\frac{4}{9}(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{5}{2}=\frac{9}{4} $,解得$ x=0.75 $(舍去)或$ x=2.25 $.所以茶几到灯柱的距离AE为2.25米.故选A.
方法诠释 将二次函数的实际应用转化为二次函数图象,运用待定系数法求函数表达式与点的坐标是解题关键.