《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

变式 2.2 (2025·安徽合肥包河区期中)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为CD边的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F,交BD于点M,连结OF交CD于点N,连结MN.
(1)求证：FN= 2ON；
(2)求证：$\frac{DM}{OC}= \frac{DN}{BC}$；
(3)若AB= 4,求MN的长.

答案：

(1)如图,连结OE,
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相交于点O,E为CD边的中点，
∴AO=CO,DE=CE,AD//BC,
∴∠DAE=∠CFE.在△DAE和△CFE中,∠DAE=∠CFE,∠AED=∠FEC,DE=CE,
∴△DAE≌△CFE(AAS),
∴AE=FE,
∴OE//CF,$OE=\frac{1}{2}CF$,
∴△EON∽△CFN,
∴$\frac{ON}{FN}=\frac{OE}{CF}=\frac{1}{2}$,
∴FN=2ON.
　　　　　　　
(2)由
(1)得△DAE≌△CFE,
∴FC=AD.
∵BC=AD,
∴FB=2AD.
∵AD//FB,
∴△ADM∽△FBM,
∴$\frac{AM}{FM}=\frac{AD}{FB}=\frac{1}{2}$,
∴FM=2AM,
∴$\frac{FM}{FA}=\frac{2AM}{2AM+AM}=\frac{2}{3}$.
∵$\frac{FN}{FO}=\frac{2ON}{2ON+ON}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{FM}{FA}=\frac{FN}{FO}$.
∵∠MFN=∠AFO,
∴△MFN∽△AFO,
∴∠FMN=∠FAO,
∴MN//AO,
∴MN//OC,
∴△DMN∽△DOC,
∴$\frac{DM}{DO}=\frac{DN}{DC}$.
∵$DO=BO=\frac{1}{2}BD$,$OC=OA=\frac{1}{2}AC$,且BD=AC,
∴DO=OC.
∵DC=BC,
∴$\frac{DM}{OC}=\frac{DN}{BC}$.
(3)
∵AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}$,
∴$AO=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$.
∵△MFN∽△AFO,
∴$\frac{MN}{AO}=\frac{FM}{FA}=\frac{2}{3}$,
∴$MN=\frac{2}{3}AO=\frac{2}{3}× 2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$,
∴MN的长为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

3. 一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC= 120 mm,高AD= 80 mm,把它加工成正方形零件(如图),使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求证：△AEF∽△ABC；
(2)求这个正方形零件的边长.

答案：
(1)
∵四边形EFGH为正方形,
∴BC//EF,
∴△AEF∽△ABC.
(2)设正方形零件的边长为xmm，
在正方形EFHG中,EF//BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$,
即$\frac{x}{120}=\frac{80 - x}{80}$,
解得x=48,即正方形零件的边长为48mm.

变式 3.1 (1)如图(1)所示,在△ABC中,点D,E,Q分别在AB,AC,BC上,且DE//BC,AQ交DE于点P,求证：$\frac{DP}{QB}= \frac{PE}{QC}$；
(2)如图(2)所示,在△ABC中,∠BAC= 90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连结AG,AF,分别交DE于M,N两点.若AB= AC= 1,求MN的长.

答案：
(1)
∵DP//BQ,
∴△ADP∽△ABQ.
∴$\frac{DP}{BQ}=\frac{AP}{AQ}$,同理可得$\frac{EP}{CQ}=\frac{AP}{AQ}$,
∴$\frac{DP}{BQ}=\frac{PE}{QC}$.
(2)过点A作AQ⊥BC于点Q,交DE于点P.
∵∠BAC=90°,AB=AC=1,
∴$BC=\sqrt{2}$,易得$AQ=\frac{\sqrt{2}}{2}$,DE=DG=GF=EF=BG=CF,
∴DE:BC=1:3.又DE//BC,
∴AD:AB=1:3,
∴$AD=\frac{1}{3}$,$DE=\frac{\sqrt{2}}{3}$,
∴在△ADE中,DE边上的高为$\frac{\sqrt{2}}{6}$,
∴$AP=\frac{\sqrt{2}}{6}$,
∴MN:GF=$\frac{\sqrt{2}}{6}:\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$MN=\frac{\sqrt{2}}{9}$.