《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1.(2024·江苏苏州吴江实验中学月考)在矩形 ABCD 中,AB= 6 cm,AD= 8 cm.
(1)若以 A 为圆心,6 cm 长为半径作$\odot A$(画图),则 B,C,D 与圆的位置关系是什么？
(2)若作$\odot A$,使 B,C,D 三点至少有一个点在$\odot A$内,至少有一点在$\odot A$外,求$\odot A$的半径 r 的取值范围.

答案：
1.
(1)如图，连结AC.
∵AB=6cm,AD=8cm,
∴AC=10cm.
∵⊙A的半径长为6cm,
∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外.
(2)
∵以点A为圆心作⊙A，使B,C,D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm.
　　　　　　　

2. 新情境 文物修复 在历史的长河中,很多文物难免损耗或破碎断裂,而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物,使其重获新生. 如图(1),某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏(盏口原貌为圆形)的时候,仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸. 如图(2)是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形. 碎片的边缘是圆弧,表示为弧 AB,测得弧所对的弦长 AB 为12.8 cm,弧中点到弦的距离为 2 cm. 设弧 AB 所在圆的圆心为 O,半径 OC⊥AB 于点 D,连结 OB. 求这个盏口半径 OB 的长.(精确到 0.1 cm)

答案： 2.由题意，得AB=12.8cm,OC⊥AB,
∴AD=BD= $\frac{1}{2}$AB=6.4cm.
　设这个盏口半径OB的长为rcm,则OD=(r−2)cm,
　在Rt△BOD中，由勾股定理，得$6.4^2+(r-2)^2=r^2$，解得r=11.24.故OB≈11.2cm.
　故这个盏口半径OB的长约为11.2cm.

3. 如图,AB 是$\odot O$的直径,OD 垂直于弦 AC 于点 D,DO 的延长线交$\odot O$于点 E. 若$AC= 4\sqrt{2}$,DE= 4,则$\frac{AC}{BC}$的值为$2\sqrt{2}$.

答案： 3.$2\sqrt{2}$　[解析]设OD=x.
∵DE=4,
∴OE=DE−OD=4−x,
∴AB=2OE=8−2x,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°.
∵OD⊥AC,
∴AD=CD.
∵OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC=2OD=2x.
　在Rt△ABC中，$AC^2+BC^2=AB^2$
∴$(4\sqrt{2})^2+(2x)^2=(8-2x)^2$，解得x=1.
∴BC=2x=2,
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

4.(湖北黄冈中学自主招生)如图,四边形 ABCD 为正方形,$\odot O$过正方形的顶点 A 和对角线的交点 P,分别交 AB,AD 于点 F,E.
(1)求证：DE= AF；
(2)若$\odot O的半径为\frac{\sqrt{3}}{2}$,AB= $\sqrt{2}+1$,求$\frac{AE}{ED}$的值.

答案：
4.
(1)如图，连结EP,FP,EF.
　　　　　　　　
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°,∠BPA=90°,PA=PB.
∵∠BAD=90°,
∴EF为⊙O的直径，
∴∠FPE=90°,
∴∠BPF=∠APE.
∵∠FBP=∠PAE=45°,
∴△BPF≌△APE,
∴BF=AE.而AB=AD,
∴DE=AF.
(2)
∵⊙O的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{3}$
∴$AF^2+AE^2=EF^2=(\sqrt{3})^2=3$
　而DE=AF,
∴$DE^2+AE^2=3$①.
∵AD=AE+ED=AB,
∴AE+ED=$\sqrt{2}+1$②,
　由①②联立起来组成方程组，解得AE=1,ED=$\sqrt{2}$或AE=$\sqrt{2}$,ED=1,
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$