《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

11. 如图,在△ABC 中,AB= 2,∠ACB= 90°,作射线 BM,使得∠ABM= 45°,作 CH⊥BM 于点 H,则 BH 长的最大值是______.

答案：
11.1 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$　[解析]如图，作△ABC的外接圆，圆心为O，连结OC。

∵AB = 2，∠ACB = 90°，⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O在AB上，且OC = OB = OA = $\frac{1}{2}$AB = 1。
作OE⊥BM于点E，CD⊥OE于点D。
∵CH⊥BM于点H，
∴∠CDE = ∠DEH = ∠CHE = 90°，
∴四边形CDEH是矩形，
∴EH = DC。
∵∠OEB = 90°，∠ABM = 45°，
∴∠EOB = ∠EBO = 45°，
∴OE = BE。
∵OB = $\sqrt{OE² + BE²}$ = $\sqrt{2}$BE = 1，
∴BE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵DC ≤ OC，
∴EH ≤ 1，
∴EH + BE ≤ 1 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BH ≤ 1 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∴BH的长的最大值是1 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

12. 手拉手模型 如图(1),在△ABC 中,BA= BC,D 是平面内不与点 A,B,C 重合的任意一点,∠ABC= ∠DBE,BD= BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图(2),当点 D 是△ABC 的外接圆圆心时,请判断四边形 BDCE 的形状,并证明你的结论.

答案： 12.
(1)
∵∠ABC = ∠DBE，
∴∠ABC + ∠CBD = ∠DBE + ∠CBD，
即∠ABD = ∠CBE。
在△ABD和△CBE中，{BA = BC，∠ABD = ∠CBE，BD = BE}，
∴△ABD ≌ △CBE(SAS)。
(2)四边形BDCE是菱形。证明如下：
由
(1)可知，△ABD ≌ △CBE，
∴AD = CE。
∵点D是△ABC外接圆的圆心，
∴DA = DB = DC。
∵BD = BE，
∴BD = BE = CE = CD。
∴四边形BDCE是菱形。

13. 方程思想 我们知道,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 由此,我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
(1)如图(1),点 P 在线段 BC 上,∠ABP= ∠APD= ∠PCD= 90°,BP= CD. 求证：点 P 是△APD 的准外心；
(2)如图(2),在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,BC= 5,AB= 3,△ABC 的准外心 P 在△ABC 的直角边上,试求 AP 的长.

答案：
13.
(1)
∵∠ABP = ∠APD = ∠PCD = 90°，
∴∠APB + ∠PAB = 90°，∠APB + ∠DPC = 90°。
∴∠PAB = ∠DPC。
在△ABP和△PCD中，{∠PAB = ∠DPC，∠ABP = ∠PCD，BP = CD}，
∴△ABP ≌ △PCD(AAS)，
∴AP = PD。
∴点P是△APD的准外心。
(2)
∵∠BAC = 90°，BC = 5，AB = 3，
∴AC = 4。
当点P，在AB上时，PA = PB，则AP = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{3}{2}$；
当点P在AC上时，PA = PC，则AP = $\frac{1}{2}$AC = 2；
当点P在AC上时，PB = PC，如图。

设AP = t，则PC = PB = 4 - t，
在Rt△ABP中，3² + t² = (4 - t)²，解得t = $\frac{7}{8}$，此时AP = $\frac{7}{8}$。
综上所述，AP的长为$\frac{3}{2}$或2或$\frac{7}{8}$。
方法诠释　本题利用勾股定理，得到有关待求线段的方程求解，体现了方程思想的运用。