《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

5.(2025·宁波余姚期中)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元,那么平均每天就可多售出2件.
(1)若商场想平均每天盈利达1200元,那么每件衬衫应降价多少元？
(2)你若是商场经理,为获得最大利润,每件衬衫应降价多少元,此时最大利润是多少？

答案：
(1)设每件衬衫应降价x元,由题意,得(40-x)(20+2x)=1200,即2x²-60x+400=0,
∴x²-30x+200=0,
∴(x-10)(x-20)=0,解得x=10或x=20,为了减少库存,
∴x=20.
∴每件衬衫应降价20元.
(2)设商场获得的总利润为y元,由题意,得y=(40-x)(20+2x)=-2x²+60x+800=-2(x-15)²+1250.
∵-2＜0,
∴当x=15时,y有最大值,最大值为1250,
∴每件衬衫应降价15元,此时最大利润是1250元.

6.(2024·贵州中考)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现：销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,下表是y与x的几组对应值.
|销售单价x/元|…|12|14|16|18|20|…|
|销售量y/盒|…|56|52|48|44|40|…|

(1)求y与x的函数表达式.
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.

答案：
(1)设y=kx+b(k≠0).
∴$\begin{cases}12k+b=56, \\14k+b=52. \end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2, \\b=80. \end{cases}$
∴y与x的函数表达式为y=-2x+80.
(2)设日销售利润为w元.w=(x-10)(-2x+80)=-2x²+100x-800=-2(x²-50x+625)-800+1250=-2(x-25)²+450.故糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是450元.
(3)设赠送礼品后的利润为t元.t=(x-10-m)(-2x+80)=-2$(x-\frac{50+m}{2})$²+$\frac{(m-30)²}{2}$.当x=$\frac{50+m}{2}$时,t的最大值为392.即$\frac{(m-30)²}{2}$=392,解得m₁=2,m₂=58.当m=58时,x=$\frac{50+m}{2}$=54,y=-2x+80=-28(舍去);当m=2时,x=$\frac{50+m}{2}$=26,y=-2x+80=28(符合题意).
∴m的值为2.

|生产背景|背景1|某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式.因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件,或“雅”服装1件,或“正”服装1件.要求全厂每天加工“雅”服装至少10件,“正”服装总件数和“风”服装相等.|
||背景2|每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时,每件获利100元；如果每天多加工1件,那么平均每件获利将减少2元.|
|信息整理|现安排x名工人加工“雅”服装,y名工人加工“风”服装,列表如下：|
|||服装种类|加工人数(人)|每人每天加工量(件)|平均每件获利(元)|
|||风|y|2|24|
|||雅|x|1|100-2(x-10)|
|||正|70-x-y|1|48|
|探究任务|任务1|探寻变量关系|求x,y之间的数量关系.根据题意安排70名工人加工一批夏季服装,∵安排x名工人加工"雅"服装,y名工人加工"风"服装,∴加工"正"服装的有(70-x-y)人.∵"正"服装总件数和"风"服装相等,∴(70-x-y)×1=2y,整理,得y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{70}{3}$.|
||任务2|建立数学模型|设该工厂每天的总利润为w元,求w关于x的函数表达式.由题意,得"雅"服装每天获利为x[100-2(x-10)],∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)],整理,得w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+(-2x²+120x),∴w=-2x²+72x+3360(x＞10).|
||任务3|拟定加工方案|制定使每天总利润最大的加工方案.由任务2得w=-2x²+72x+3360=-2(x-18)²+4008,∴当x=18时,获得最大利润,y=-$\frac{1}{3}$×18+$\frac{70}{3}$=$\frac{52}{3}$,∵x≠18.∵开口向下,∴取x=17或x=19,当x=17时,y=$\frac{53}{3}$,不符合题意;当x=19时,y=$\frac{51}{3}$=17,符合题意;∴70-x-y=34.综上所述,安排19名工人加工"雅"服装,17名工人加工"风"服装,34名工人加工"正"服装,即可获得最大利润.|

答案： 任务1:根据题意安排70名工人加工一批夏季服装,
∵安排x名工人加工"雅"服装,y名工人加工"风"服装,
∴加工"正"服装的有(70-x-y)人.
∵"正"服装总件数和"风"服装相等,
∴(70-x-y)×1=2y,整理,得y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{70}{3}$.任务2:由题意,得"雅"服装每天获利为x[100-2(x-10)],
∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)],整理,得w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+(-2x²+120x),
∴w=-2x²+72x+3360(x＞10).任务3:由任务2得w=-2x²+72x+3360=-2(x-18)²+4008,
∴当x=18时,获得最大利润,y=-$\frac{1}{3}$×18+$\frac{70}{3}$=$\frac{52}{3}$,
∵x≠18.
∵开口向下,
∴取x=17或x=19,当x=17时,y=$\frac{53}{3}$,不符合题意;当x=19时,y=$\frac{51}{3}$=17,符合题意;
∴70-x-y=34.综上所述,安排19名工人加工"雅"服装,17名工人加工"风"服装,34名工人加工"正"服装,即可获得最大利润.