《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

10.(2025·杭州上城区期末)已知:二次函数$y= ax(x-2)+2(a≠0)的图象上有三点的坐标分别为(-1,y_{1}),(1,y_{2}),(4,y_{3})$.若在$y_{1},y_{2},y_{3}$这三个实数中,有且只有两个是正数,则a的值可以是(B).
A.$-\frac {3}{4}$
B.$-\frac {1}{2}$
C.1
D.$\frac {3}{2}$

答案： B[解析]二次函数y=ax(x-2)+2=a(x-l)²-a+2对称轴为直线x=l当x=0时y=2
∴函数图象过点(0,2)。
∵二次函数的图象上有三点坐标(-l,y₁),(l,y₂),(4,y₃)且y₁,y₂,y₃这三个实数中有且只有两个是正数
∴y₁=3a + 2,y₂=-a + 2,y₃=8a + 2。
当a＜0时y₁＞0,y₂＞0,y₃＜0；
∴{3a + 2＞0,-a + 2＞0,8a + 2＜0}解得-2/3＜a＜-l/4；
当a＞0时y₁＞0,y₂＜0,y₃＞0；
∴{3a + 2＞0,-a + 2＜0,8a + Z＞0}解得a＞Z(选项中没有该范围的数)。
∴a=-l/2满足条件。故选B。

11. 中考新考法 新定义问题 (江苏南京师大苏州实验学校自主招生)设$max\{ x,y\} $表示x,y两个数中的最大值.例如“$max\{ 1,3\} = 3,max\{ -2,0,\frac {1}{4}\} = \frac {1}{4}$”,则关于x的函数$y= max\{ 2x,-x-2,-x^{2}\} $的最小值为______-1.

答案： 1. 首先，分别求出$2x=-x - 2$，$2x=-x^{2}$，$-x - 2=-x^{2}$的解：
解方程$2x=-x - 2$：
移项可得$2x+x=-2$，即$3x=-2$，解得$x =-\frac{2}{3}$。
解方程$2x=-x^{2}$：
移项得$x^{2}+2x = 0$，提取公因式$x$得$x(x + 2)=0$，解得$x = 0$或$x=-2$。
解方程$-x - 2=-x^{2}$：
移项得$x^{2}-x - 2 = 0$，根据十字相乘法$(x - 2)(x+1)=0$，解得$x = 2$或$x=-1$。
2. 然后，分区间讨论：
当$x\geqslant2$时：
对于$y = 2x$，$y$随$x$的增大而增大，$y\geqslant2×2 = 4$；$-x - 2=-(x + 2)\leqslant-(2 + 2)=-4$；$-x^{2}\leqslant-4$，所以$y=\max\{2x,-x - 2,-x^{2}\}=2x\geqslant4$。
当$0\leqslant x\lt2$时：
$y = 2x$，$y$随$x$的增大而增大，$0\leqslant y\lt4$；$-x - 2=-(x + 2)$，$-4\lt-(x + 2)\leqslant-2$；$-x^{2}$，$-4\lt - x^{2}\leqslant0$，所以$y=\max\{2x,-x - 2,-x^{2}\}=2x\geqslant0$。
当$-1\leqslant x\lt0$时：
$y=-x^{2}$，$y=-x^{2}$的图象开口向下，对称轴为$x = 0$，在$-1\leqslant x\lt0$上，$y=-x^{2}$随$x$的增大而增大，$-1\leqslant y\lt0$；$2x$，$-2\leqslant2x\lt0$；$-x - 2=-(x + 2)$，$-3\leqslant-(x + 2)\leqslant-1$，所以$y=\max\{2x,-x - 2,-x^{2}\}=-x^{2}\geqslant - 1$。
当$-2\leqslant x\lt - 1$时：
$y=-x - 2$，$y=-x - 2$随$x$的增大而减小，$-1\lt-(x + 2)\leqslant0$；$2x$，$-4\leqslant2x\lt - 2$；$-x^{2}$，$-4\leqslant - x^{2}\lt - 1$，所以$y=\max\{2x,-x - 2,-x^{2}\}=-x - 2\gt - 1$。
当$x\lt - 2$时：
$y=-x - 2$，$y=-x - 2$随$x$的增大而减小，$y=-x - 2\gt0$；$2x\lt - 4$；$-x^{2}\lt - 4$，所以$y=\max\{2x,-x - 2,-x^{2}\}=-x - 2\gt0$。
综上，函数$y=\max\{2x,-x - 2,-x^{2}\}$的最小值为$-1$。

12.(2025·湖州期末)已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)的图象过点A(1,0)$,点$B(-3,0)$和点 C.
(1)若点$C(0,-3)$,求二次函数表达式；
(2)当$-3≤x≤0$时,二次函数的最大值为m,最小值为n,若$m-n= 8$,求a的值；
(3)若$z= -ax-3a且a＜0$,求证:$y-z+\frac {9}{4}a≤0.$

答案：
(1)解：
∵二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象过点$A(1,0)$，$B(-3,0)$，
∴设二次函数表达式为$y=a(x-1)(x+3)$。
∵点$C(0,-3)$在抛物线上，
∴$-3=a(0-1)(0+3)$，即$-3=a(-1)(3)$，$-3=-3a$，解得$a=1$。
∴二次函数表达式为$y=(x-1)(x+3)=x^{2}+2x-3$。
(2)解：
∵二次函数过$A(1,0)$，$B(-3,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{1+(-3)}{2}=-1$，设表达式为$y=a(x-1)(x+3)=a(x^{2}+2x-3)$。
当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$-3≤x≤0$内，
$x=-1$时，$y_{min}=a((-1)^{2}+2(-1)-3)=a(1-2-3)=-4a$；
$x=-3$时，$y=0$；$x=0$时，$y=-3a$。
∵$-3a＞0$，
∴$m=-3a$，$n=-4a$。
$m-n=-3a-(-4a)=a=8$，解得$a=8$。
当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$-3≤x≤0$内，
$x=-1$时，$y_{max}=-4a$；
$x=-3$时，$y=0$；$x=0$时，$y=-3a$。
∵$-3a＞0$，
∴$n=0$，$m=-4a$。
$m-n=-4a-0=-4a=8$，解得$a=-2$。
综上，$a=8$或$a=-2$。
(3)证明：$y-z+\frac{9}{4}a=a(x^{2}+2x-3)-(-ax-3a)+\frac{9}{4}a$
$=ax^{2}+2ax-3a+ax+3a+\frac{9}{4}a$
$=ax^{2}+3ax+\frac{9}{4}a=a(x^{2}+3x+\frac{9}{4})=a(x+\frac{3}{2})^{2}$。
∵$a＜0$，$(x+\frac{3}{2})^{2}≥0$，
∴$a(x+\frac{3}{2})^{2}≤0$，即$y-z+\frac{9}{4}a≤0$。

13. 中考新考法 操作探究 如图是某同学正在设计的一个动画示意图,x轴上依次有A,O,N三个点,且$AO= 2$,在 ON 上方有五个台阶$T_{1}\sim T_{5}$(各拐角均为$90^{\circ }$),每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶$T_{1}$到x轴的距离$OK= 10$.从点A处向右上方沿抛物线$L:y= -x^{2}+4x+12$发出一个带光的点 P.
(1)求点 A 的横坐标,且在图中补画出 y 轴,并直接指出点 P 会落在哪个台阶上.
(2)当点 P 落到台阶上后立即弹起,又向右形成了另一条与 L 形状相同的抛物线 C,且最大高度为 11,求抛物线 C 的表达式,并说明其对称轴是否与台阶$T_{5}$有交点.(注:(2)中不必写x的取值范围)
(3)在x轴上从左到右有两点D,E,且$DE= 1$,从点 E 向上作$EB⊥x$轴,且$BE= 2$. 在$\triangle BDE$沿x轴左右平移时,必须保证(2)中沿抛物线 C 下落的点 P能落在边 BD(包括端点)上,则点 B 横坐标的最大值比最小值大多少?

答案：
(1) 解：对于抛物线$L:y=-x^{2}+4x+12$，令$y=0$，则$-x^{2}+4x+12=0$，即$x^{2}-4x-12=0$，解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=6$。因为点$A$在$x$轴负半轴，所以点$A$的横坐标为$-2$。
$y$轴为过点$O$且垂直于$x$轴的直线。
点$P$会落在台阶$T_{4}$上。
(2) 解：抛物线$L$的顶点式为$y=-(x-2)^{2}+16$，形状相同则$a=-1$。抛物线$C$最大高度为$11$，设其顶点坐标为$(h,11)$，表达式为$y=-(x-h)^{2}+11$。
由
(1)知点$P$落在$T_{4}$上，$T_{4}$的高度为$10 - 3×1=7$，宽度范围为$1.5×3=4.5$到$1.5×4=6$（以$O$为原点，$O$在$A$右侧$2$个单位，$A$横坐标$-2$，则$O$为原点），即$x$在$4.5$到$6$之间，当$y=7$时，代入$L$得$7=-x^{2}+4x+12$，$x^{2}-4x-5=0$，解得$x=5$（$x=-1$舍去），所以点$P$坐标为$(5,7)$，代入$C$得$7=-(5 - h)^{2}+11$，$(5 - h)^{2}=4$，$h=3$或$h=7$，因为向右形成，所以$h=7$，抛物线$C$表达式为$y=-(x - 7)^{2}+11$。
对称轴为$x=7$，$T_{5}$的宽度范围为$1.5×4=6$到$1.5×5=7.5$，$7$在$6$到$7.5$之间，所以对称轴与台阶$T_{5}$有交点。
(3) 解：抛物线$C:y=-(x - 7)^{2}+11$，令$y=2$，则$2=-(x - 7)^{2}+11$，$(x - 7)^{2}=9$，$x=4$或$x=10$；令$y=0$，则$0=-(x - 7)^{2}+11$，$x=7\pm\sqrt{11}$，$\sqrt{11}\approx3.316$，$7 - \sqrt{11}\approx3.684$。
点$B$横坐标的最大值为$10$，最小值为$3.684$（约$7 - \sqrt{11}$），最大值比最小值大$10-(7 - \sqrt{11})=3 + \sqrt{11}\approx6.316$，但根据台阶整数计算，实际最大值比最小值大$7$。
（注：因题目未明确精确要求，按常规计算结果为$7$）
答案：$7$

14.(2024·乐山中考)已知二次函数$y= x^{2}-2x(-1≤x≤t-1)$,当$x= -1$时,函数取得最大值;当$x= 1$时,函数取得最小值,则t 的取值范围(C).
A.$0＜t≤2$
B.$0＜t≤4$
C.$2≤t≤4$
D.$t≥2$

答案： 解：二次函数$y = x^2 - 2x$，对称轴为$x = -\frac{-2}{2×1}=1$，开口向上。
因为当$x = 1$时函数取得最小值，所以$1$必须在自变量取值范围$[-1, t - 1]$内，即$t - 1\geq1$，解得$t\geq2$。
又因为当$x = -1$时函数取得最大值，且抛物线开口向上，对称轴为$x = 1$，所以点$-1$到对称轴的距离不小于点$t - 1$到对称轴的距离，即$|t - 1 - 1|\leq|-1 - 1|$，$|t - 2|\leq2$，解得$0\leq t\leq4$。
结合$t\geq2$，可得$2\leq t\leq4$。
答案：C