《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

10. (2025·福建泉州期末改编)为深入贯彻落实劳动教育理念,培养学生的劳动技能和劳动精神,某中学计划在校园开辟一块劳动教育基地.基地的一面利用学校的墙,并在与墙平行的一边留有一道宽为 2 米的门,用 40 米长的篱笆,围成一个如图所示的矩形菜地 ABCD,供同学们进行劳动实践.设 AB 边的长为 x 米,菜地面积为 y 平方米,则 y 关于 x 的函数表达式是y=-2x²+42x.

答案： y=-2x²+42x [解析] 根据题意,得菜地面积 y=x·(40+2-2x)=-2x²+42x.

11. 小明开了一家网店,进行社会实践,计划经销甲、乙两种商品.若甲商品每件利润为 10 元,乙商品每件利润为 20 元,则每周能卖出甲商品 40 件,乙商品 20 件.经调查,甲、乙两种商品零售单价分别每降价 1 元,这两种商品每周可各多销售 10 件.为了提高销售量,小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价 x 元.
(1)直接写出甲、乙两种商品每周的销售量 y(件)与降价 x(元)之间的函数关系式;
(2)求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润 W(元)与降价 x(元)之间的函数关系式.

答案：
(1)由题意,得 y_甲=10x+40,y_乙=10x+20.
(2)由题意,得 W=(10-x)(10x+40)+(20-x)·(10x+20)=-20x²+240x+800.

12. 新情境 种植果树 开心果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子.今年准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子.
(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自变量?哪些是因变量?
变量有果园里面增种的橙子树的棵数和果园橙子的总产量.自变量是增种的橙子树的棵数,因变量是果园的橙子总产量.
(2)假设果园增种 x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树? 这时平均每棵树结多少个橙子?
果园共有(100+x)棵橙子树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为 y 个,那么请你写出 y 与 x 之间的函数表达式.
y=(100+x)·(600-5x)=-5x²+100x+60000
(4)根据(3)中的二次函数,先填表:
|x/棵|8|9|10|11|12|
|y/个|60480|60495|60500|60495|60480|
观察表中的数据,你知道种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多吗?
由上表可知,当 x 逐渐增大时,y 先逐渐增大,后又逐渐减小.所以当 x 取 10 时,y 取得最大值.故果园种 110 棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多.

答案：
(1)变量有果园里面增种的橙子树的棵数和果园橙子的总产量.自变量是增种的橙子树的棵数,因变量是果园的橙子总产量.
(2)果园共有(100+x)棵橙子树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
(3)橙子的总产量 y=(100+x)·(600-5x)=-5x²+100x+60000.
(4)填表如下:x/棵89101112y/个6048060495605006049560480由上表可知,当 x 逐渐增大时,y 先逐渐增大,后又逐渐减小.所以当 x 取 10 时,y 取得最大值.故果园种 110 棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多.素养考向 本题主要考查了变量之间的关系,也考查了数学学科核心素养中的模型观念,根据题中变量之间的关系,列出函数表达式,有利于培养学生的数学运算能力.

13. 分类讨论思想 对于函数$ y= ax^2+bx+c $是什么类型的函数,同学们展开了激烈的辩论,有以下几个观点:
小丁说:"它是一个二次函数."
小明说:"我看了看书,它不一定是二次函数,如果 a= 0,它的二次项都没有了,怎么是二次函数呢?"
聪明的小凯说:"这个函数根据 a,b,c 的不同取值,可以得到不同的函数,可以是一次函数,也可以是正比例函数,还可以是二次函数."
同学们,你知道其中的奥妙吗?

答案： 当 a≠0 时,y=ax²+bx+c 是二次函数;当 a=0,b≠0 时,y=ax²+bx+c 即 y=bx+c,是一次函数;当 a=0,b≠0,c=0 时,y=ax²+bx+c 即 y=bx,是正比例函数.
∴这个函数根据 a,b,c 的不同取值,可以得到不同的函数,可以是一次函数,也可以是正比例函数,还可以是二次函数.归纳总结 所给的函数中二次项系数为 a,不确定 a 是否为零,依次对 a 分情况讨论:当 a=0 时,函数不是二次函数;当 a≠0 时,函数是二次函数;当 a=0 时,由一次函数的定义可知 b≠0,然后分 c=0 和 c≠0 两种情况进行分析即可.