《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1.(2024·温州三模)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成,连结HF交DE于点M. 若$\frac{AH}{AE}= \frac{1}{2}$,则$\frac{HM}{MF}$的值为( ).


A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{2}{3}$

答案：
C [解析]如图所示,延长CB,DE交于点N,设AH=1,则AE=2,

∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
∴BE=1,DH=BF=2.
∵AD//BN,
∴△ADE∽△BNE,
∴$\frac{AD}{BN}$=$\frac{AE}{BE}$，即$\frac{3}{BN}$=$\frac{2}{1}$，
∴BN=1.5.
∵DH//NF,
∴△DHM∽△NFM,
∴$\frac{HM}{FM}$=$\frac{DH}{NF}$=$\frac{2}{3.5}$=$\frac{4}{7}$. 故选C.

2.(2025·绍兴诸暨期末)如图,AB是$\odot O$的直径,D是$\odot O$上一点,连结AD和BD,C是$\widehat{BD}$的中点,连结OC和AC,分别交BD于点E和F.
(1)证明：$AD// OC$；
(2)若$BO= 5$,$BE= 4$,求DF的长.

(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠D=90°.
∵C是$\widehat{BD}$的中点,
∴OC垂直平分BD,
∴∠OEB=90°,
∴∠D=∠OEB,
∴AD//OC.
(2)∵AO=BO=CO=5,DE=BE=4,
∴AB=2AO=10,DB=2DE=8,
∴AD=$\sqrt{AB^2-DB^2}$=$\sqrt{10^2-8^2}$=6,
∴OE=$\frac{1}{2}$AD=3,
∴CE=CO - OE=5 - 3=2.
∵AD//CE,
∴△AFD∽△CFE,
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{AD}{CE}$=$\frac{6}{2}$=3,
∴EF=$\frac{1}{3}$DF,
∴DF+$\frac{1}{3}$DF=4,
∴DF=3,
∴DF的长为3.

答案：
(1)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠D=90°.
∵C是$\widehat{BD}$的中点,
∴OC垂直平分BD,
∴∠OEB=90°,
∴∠D=∠OEB,
∴AD//OC.
(2)
∵AO=BO=CO=5,DE=BE=4,
∴AB=2AO=10,DB=2DE=8,
∴AD=$\sqrt{AB^2-DB^2}$=$\sqrt{10^2-8^2}$=6,
∴OE=$\frac{1}{2}$AD=3,
∴CE=CO - OE=5 - 3=2.
∵AD//CE,
∴△AFD∽△CFE,
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{AD}{CE}$=$\frac{6}{2}$=3,
∴EF=$\frac{1}{3}$DF,
∴DF+$\frac{1}{3}$DF=4,
∴DF=3,
∴DF的长为3.

3. 如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,$\angle ACB$的平分线交AB,BD于M,N两点. 若$AM= 2$,则线段ON的长为( ).


A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.1
D.$\frac{\sqrt{6}}{2}$

答案：
C [解析]如图,过点M作MH⊥AC,垂足为H,
∴∠AHM=90°.
∵四边形ABCD为正方形,

∴∠CAB=45°,AC⊥BD,
∴∠AMH=45°.
∴∠CAB=∠AMH,
∴AH=MH.
设正方形的边长为x,由AM=2,得BM=x - 2.
∵CM平分∠ACB,MH⊥AC,MB⊥BC,
∴BM=MH.
在Rt△AMH中,根据勾股定理,得$\sqrt{2}$(x - 2)=2,解得x=2+$\sqrt{2}$,则MH=AH=$\sqrt{2}$,OC=$\sqrt{2}$+1,AC=2$\sqrt{2}$+2,
∴CH=$\sqrt{2}$+2.
∵MH//ON,
∴△CON∽△CHM.
∴$\frac{CO}{CH}$=$\frac{ON}{MH}$，即$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$=$\frac{ON}{\sqrt{2}}$，解得ON=1. 故选C.
思路引导：熟悉常见的正方形模式图形、基本图形有利于将问题向熟悉的方向转化.

4.(2025·福建泉州洛江区期中改编)如图,在$\triangle ABC$中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连结DE,DF,BE,DF与BE交于点G. 已知四边形DFCE是平行四边形,且$\frac{DE}{BC}= \frac{2}{5}$. 若$AC= 25$,求线段AE,GF的长.

答案：
∵四边形DFCE是平行四边形,
∴DE//BC,DF//AC,DE=CF,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{5}$.
∵AC=25,
∴AE=10,
∴CE=25 - 10=15.
∵$\frac{DE}{BC}$=$\frac{CF}{BC}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{3}{5}$.
∵DF//AC,
∴△BFG∽△BCE,
∴$\frac{GF}{CE}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∴GF=9.

5. 如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD上,且$CF= 3FD$,$\angle BEF= 90^\circ$.
(1)求证：$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$；
(2)若$AB= 4$,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长.

答案：
(1)
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠ABE+∠AEB=90°.
∵∠BEF=90°,
∴∠AEB+∠DEF=90°,
∴∠ABE=∠DEF,
∴△ABE∽△DEF.
(2)
∵AB=BC=CD=AD=4,CF=3FD,E为边AD的中点,
∴DF=1,CF=3,DE=2.
∵ED//CG,
∴△EDF∽△GCF,
∴$\frac{ED}{CG}$=$\frac{DF}{CF}$，
∴$\frac{2}{CG}$=$\frac{1}{3}$，解得CG=6.
∴BG=BC+CG=10.