《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

8. 一题多问(2024·山东中考)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数$y= ax^{2}+bx-3(a\gt0)$的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线$x= m$.
(1)求m的值；
(2)若点Q(m,-4)在$y= ax^{2}+bx-3$的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图象.当$0\leqslant x\leqslant4$时,求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设$y= ax^{2}+bx-3$的图象与x轴交点为$(x_{1},0),(x_{2},0)(x_{1}\lt x_{2})$.若$4\lt x_{2}-x_{1}\lt6$,求a的取值范围.

答案：
(1)
∵点P(2,-3)在二次函数y=ax²+bx-3(a＞0)的图象上,
∴4a+2b-3=-3,解得b=-2a,
∴抛物线为y=ax²-2ax-3,
∴抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-2a}{2a}$=1,
∴m=1.
(2)
∵点Q(1,-4)在y=ax²-2ax-3的图象上,
∴a-2a-3=-4,解得a=1,
∴抛物线为y=x²-2x-3=(x-1)²-4.将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数为y=(x-1)²-4+5=(x-1)²+1.
∵0≤x≤4,
∴当x=1时,函数有最小值为1;当x=4时,函数有最大值为(4-1)²+1=10,
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11.
(3)
∵y=ax²-2ax-3的图象与x轴交点为(x₁,0),(x₂,0)(x₁＜x₂),
∴x₁+x₂=2,x₁·x₂=-$\frac{3}{a}$.
∴x₂-x₁=$\sqrt{(x₁+x₂)²-4x₁x₂}$=$\sqrt{4+\frac{12}{a}}$=2$\sqrt{1+\frac{3}{a}}$.
∵4＜x₂-x₁＜6,
∴4＜2$\sqrt{1+\frac{3}{a}}$＜6,
∴2＜$\sqrt{1+\frac{3}{a}}$＜3,解得$\frac{3}{8}$＜a＜1.