《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

【例】(第四届“学用杯”数学竞赛)六个篮子分别装有6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5(n为正整数)个小球,小红和小霞两个同学做游戏,从某个篮子中轮流取球,每人每次可以取一个或两个,但是不可以不取,并规定谁取走了最后一个小球谁败,抽签决定由小红先取,但由小霞决定从哪个篮子取.
你认为谁能获胜,请你设计一个必胜的方案.
解析：根据每人每次可以取一个或两个,但是不可以不取,只要保证每一个回合中共取3个球,且从(6n+1)或(6n+4)个球的篮子中取出,小霞就能获胜.
答案：小霞能获胜.
选有(6n+1)或(6n+4)个球的篮子,根据(6n+1)或(6n+4)除以3余1,可以得出,只要在每一个回合中小霞和小红共取3个球,最后就会余1,即可使小红取走最后一个小球,小霞获胜.

答案： 解：小霞能获胜。
方案：小霞选择从装有$6n + 1$或$6n + 4$个球的篮子中取球。
因为$(6n + 1)÷3 = 2n\cdots\cdots1$，$(6n + 4)÷3 = 2n + 1\cdots\cdots1$，即这两种情况球的总数除以$3$均余$1$。
小红先取，若小红取$1$个球，小霞就取$2$个球；若小红取$2$个球，小霞就取$1$个球，确保每回合两人共取$3$个球。经过若干回合后，最后会剩余$1$个球，此时轮到小红取，小红取走最后一个球则失败，小霞获胜。

1.(山东济宁汶上自主招生)投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则下列事件为随机事件的是(D).
A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12

答案： D 解析 两枚骰子向上一面的点数之和大于1,是必然事件,故A错误;两枚骰子向上一面的点数之和等于1,是不可能事件,故B错误;两枚骰子向上一面的点数之和大于12,是不可能事件,故C错误;两枚骰子向上一面的点数之和等于12,是随机事件,故D正确.故选D.

2.(温州自主招生)在分别标有号码2,3,4,…,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是(B).
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{5}{18}$
D.$\frac{7}{36}$

答案： B 解析 在分别标有号码2,3,4,…10的9个球中,随机取出两个球,共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(种)等可能的结果,其中较大标号被较小标号整除有(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(3,6),(3,9),(4,8),(5,10),所以较大标号被较小标号整除的概率=$\frac{8}{36}$=$\frac{2}{9}$.故选B.

3.(南京师范大学附属中学自主招生)如图,甲、乙、丙三人在一个完全对称的、有6个座位的桌边入坐,设他们落座的座位分别为A,B,C,则△ABC是轴对称图形的概率为$\frac{2}{5}$.

答案： $\frac{2}{5}$

4.(苏州西附高中自主招生)如图,用红、蓝、黄三色将图中区域A,B,C,D着色,要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色.满足恰好A涂蓝色的概率为$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$ 解析 要使有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色,则当A涂红时,可有A红,B蓝,C黄,D红;A红,B蓝,C黄,D蓝;A红,B黄,C蓝,D红;A红,B黄,C蓝,D黄共4种情况;当A涂蓝时,同理也有4种情况;当A涂黄时也有4种情况,
∴恰好A涂蓝色的概率为$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$.思路引导 首先分析出所有满足条件的涂法,然后找出恰好A涂蓝色的涂法,它们的比值即为所求的概率.

5.(第十七届“我爱数学”竞赛)乐乐可喜欢玩积木了,他有很多棱长为1的小立方体,通常他会用胶水将多个小立方体粘合起来成为积木.一天,他先用胶水粘出一个看起来像图中所示的积木,但内部是中空,且内部留出尽可能最大的空间的空心积木,然后他将该积木表面涂上颜色后,又按照粘合处把积木拆开成一个个棱长为1的小立方体,再把这些小立方体装在一个不透明的塑料袋中,求如果从塑料袋中的这些小立方体中随意地摸出一个立方体恰好只有一面是涂了颜色的概率.

答案： 由题图,知组成积木的小立方体的个数是60+20+16=96(个).只有一面是涂有颜色的小立方体有4×3×2+2×3×2+2×4×2=24+12+16=52(个).
∴P(只有一面是涂了颜色)=$\frac{52}{96}$=$\frac{13}{24}$.