《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

9.(2025·福建泉州鲤城区期中)商家通常依据"乐观系数准则"确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a、最高销售限价b(b＞a)以及实数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c= a+x(b-a),这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(b-a)/(c-a)= (c-a)/(b-c),据此可得,最佳乐观系数x的值等于(√5-1)/2.

答案： 9.(√5-1)/2 解析
∵c-a=x(b-a),b-c=(b-a)-x(b-a),b-a/c-a=c-a/b-c,
∴[x(b-a)]²=(b-a)²-x(b-a)²,
∴x²+x-1=0,解得x=(-1±√5)/2.
∵0＜x＜1,
∴x=(√5-1)/2.

10. 传统文化 二胡 (2024·济南槐荫区二模)二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一,演奏家发现,二胡的"千斤"钩在琴弦长的黄金分割点处("千斤"上面一截琴弦比下面一截琴弦短),奏出来的音调最和谐悦耳.如图,一把二胡的琴弦长为80 cm,求"千斤"下面一截琴弦长(结果保留根号).

答案： 10.
∵二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处,且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短,则令“千斤”下面一截琴弦长为x cm,
∴x/80=(√5-1)/2,解得x=40√5-40,
∴“千斤”下面一截琴弦长为(40√5-40)cm.

11. 中考新考法 新定义问题 (2025·山西临汾期中)阅读理解:二次根式的除法,要化去分母中的根号,需将分子、分母同乘一个恰当的二次根式.
例如:化简1/(√3-√2).
解:将分子、分母同乘√3+√2,得1/(√3-√2)= (√3+√2)/[(√3-√2)(√3+√2)]= √3+√2.
拓展延伸:
宽与长的比是(√5-1)/2的矩形叫黄金矩形.如图(1),已知黄金矩形ABCD的宽AB= √2.
(1)求黄金矩形ABCD中BC边的长;
(2)如图(2),将图(1)中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF,得到新的矩形DCEF,猜想矩形DCEF是否为黄金矩形,并证明你的结论.

答案： 11.
(1)
∵宽与长的比是(√5-1)/2的矩形叫黄金矩形,黄金矩形ABCD的宽AB=√2,
∴AB/BC=(√5-1)/2=√2/BC,
∴BC=2√2/(√5-1)=[2√2(√5+1)]/[(√5-1)(√5+1)]=(√10+√2)/2.
(2)矩形DCEF是黄金矩形.理由如下:
∵黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF,得到新的矩形DCEF,
∴BE=AB=CD=√2,EC=BC-BE=(√10+√2)/2-√2=(√10-√2)/2,
∴EC/CD=(√10-√2)/(2√2)=[√2(√5-1)]/(2√2)=(√5-1)/2,故矩形DCEF是黄金矩形.

12. 传统文化 汉字字形 (2024·山西中考)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字"晋"端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB//NP,"晋"字的笔画"、"的位置在AB的黄金分割点C处,且BC/AB= (√5-1)/2,若NP= 2 cm,则BC的长为√5-1cm(结果保留根号).

答案： 12.(√5-1) 解析
∵四边形MNPQ是正方形,
∴∠N=∠P=90°.又AB//NP,
∴∠BAN+∠N=180°,
∴∠BAN=90°,
∴四边形ABPN是矩形,
∴AB=NP=2 cm.又BC/AB=(√5-1)/2,
∴BC=(√5-1)cm.