《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

9.(2025·山东潍坊期末)已知一次函数y=ax+b图象如图所示,则二次函数y=ax²+bx-a在平面直角坐标系中的图象是(A).



A
B
C D

答案： A [解析]根据一次函数y = ax + b图象，可以得到a＜0，b＞0，
∴二次函数y = ax² + bx - a图象开口向下，二次函数的对称轴在y轴右侧，
∴选项B、选项C、选项D均错误.故选A.

10. 数形结合思想 已知关于x的方程kx²+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx²+(2k+1)x+2的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若(a,y₁),(1,y₂)是此抛物线上的两点,且y₁＞y₂,请结合函数图象确定实数a的取值范围;
(3)已知抛物线y=kx²+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.

答案：
(1)①当k = 0时，方程为x + 2 = 0，方程的根为x = -2；②当k≠0时，Δ = (2k + 1)² - 8k = (2k - 1)²≥0，
∴方程总有两个实数根.综合①②可知，无论k取任何实数，方程总有实数根.
(2)令y = 0，则kx² + (2k + 1)x + 2 = 0，
∴(x + 2)(kx + 1) = 0，解得x₁ = -2，x₂ = -$\frac{1}{k}$.
∵k为正整数，x₂ = -$\frac{1}{k}$为整数，
∴k = 1.此时，y = x² + 3x + 2 = (x + $\frac{3}{2}$)² - $\frac{1}{4}$，抛物线的对称轴为直线x = -$\frac{3}{2}$.其图象如图所示.
∵(a,y₁),(1,y₂)是此抛物线上的两点，且y₁＞y₂，
∴实数a的取值范围为a＞1或a＜-4.
(3)
∵y = kx² + (2k + 1)x + 2，
∴(x² + 2x)k = y - x - 2.
∵此抛物线恒过定点，
∴x² + 2x = 0且y - x - 2 = 0.
∴x = 0，y = 2或x = -2，y = 0.故抛物线y = kx² + (2k + 1)x + 2恒过定点(0,2)与(-2,0).

11.根据下列要求,解答相关问题:
(1)请补全以下求不等式-2x²-4x≥0的解集的过程.
①构造函数,画出图象:根据不等式特征构造二次函数y=-2x²-4x,并在下面的坐标系中(如图(1))画出二次函数y=-2x²-4x的图象(只画出图象即可);
②求得界点,标示所需:当y=0时,求得方程-2x²-4x=0的解为x₁ = 0，x₂ = -2;并标示函数y=-2x²-4x图象中y≥0的部分;
③借助图象,写出解集:由所标示图象,可得不等式-2x²-4x≥0的解集为-2≤x≤0.
(2)利用(1)中求不等式解集的步骤,求不等式x²-2x+1＜4的解集.
①构造函数,画出图象;②求得界点,标示所需;③借助图象,写出解集.
(3)参照以上两个求不等式解集的过程,借助一元二次方程的求根公式,直接写出关于x的不等式ax²+bx+c＞0(a＞0)的解集.
当b² - 4ac＞0时，解集是x＞$\frac{-b + \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$或x＜$\frac{-b - \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$；当b² - 4ac = 0时，解集是x≠ -$\frac{b}{2a}$；当b² - 4ac＜0时，解集是全体实数.

答案：
(1)①构造函数y = -2x² - 4x = -2x(x + 2)，其图象如图
(1)所示②x₁ = 0，x₂ = -2 图象如图
(1)所示，当 -2≤x≤0时所对应的图象是函数y = -2x² - 4x图象中y≥0的部分.③ -2＜x＜0
(2)①构造函数y = x² - 2x + 1，其图象如图
(2)所示.②令y = 4，解得x₁ = -1，x₂ = 3.③ -1＜x＜3.
(3)当b² - 4ac＞0时，解集是x＞$\frac{-b + \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$或x＜$\frac{-b - \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$；当b² - 4ac = 0时，解集是x≠ -$\frac{b}{2a}$；当b² - 4ac＜0时，解集是全体实数.