《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

1. (2025·杭州钱塘区期末)已知二次函数 $ y= ax^{2}(a≠0) $的图象经过点(2,-5),则a的值为(D).
A.$ \frac{4}{5} $
B.$ -\frac{4}{5} $
C.$ \frac{5}{4} $
D.$ -\frac{5}{4} $

答案： D [解析]
∵二次函数y=ax²(a≠0)的图象经过点(2,-5),
∴-5=4a,
∴a=-$\frac{5}{4}$.故选D.

2. 教材 P9 例1·变式 抛物线 $ y= 4x^{2} $的对称轴是直线(C).
A.$ y= 0 $
B.$ y= 1 $
C.$ x= 0 $
D.$ x= 2 $

答案： C [解析]抛物线y=4x²的对称轴是y轴,即直线x=0.故选C.

3. 二次函数 $ y= -x^{2} $图象的顶点坐标是(0,0).

答案： (0,0) [解析]二次函数y=-x²图象的顶点坐标是(0,0).

4. 实验班原创 已知点A(m,-2)在二次函数 $ y= -4x^{2} $的图象上,则m的值是______±$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案： ±$\frac{\sqrt{2}}{2}$ [解析]
∵点A(m,-2)在二次函数y=-4x²的图象上,
∴-2=-4m²,解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
思路引导 已知点的纵坐标,要求横坐标,只需将纵坐标代入函数表达式,转化为关于横坐标的方程求解即可.

5. (2024·江苏苏州期中改编)已知抛物线 $ y= ax^{2} $经过点A(-2,-8).
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;
(3)求出抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.

答案：
(1)
∵抛物线y=ax²经过点A(-2,-8),
∴a·(-2)²=-8,
∴a=-2,
∴此抛物线的函数表达式为y=-2x².
(2)把x=-1代入y=-2x²得y=-2×1=-2,
∴点B(-1,-4)不在此抛物线上.
(3)把y=-6代入y=-2x²得-6=-2x²,解得x=±$\sqrt{3}$,
∴纵坐标为-6的点的坐标为($\sqrt{3}$,-6)或(-$\sqrt{3}$,-6).

6. (2025·宁波鄞州区期末)下列函数对应的抛物线中,形状与抛物线 $ y= 2x^{2}+3 $相同的是(A).
A.$ y= -2x^{2}+3 $
B.$ y= 3x^{2}+2 $
C.$ y= -3x^{2}-2 $
D.$ y= 4x^{2}-2 $

答案： A [解析]
∵抛物线图象的形状只与|a|的大小有关,
∴y=-2x²+3与抛物线y=2x²+3的形状相同.故选A.

7. 传统文化 中国象棋 象棋在中国有着三千多年的历史,属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单,趣味性强,象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.如图是一方的棋盘,如果“马”的坐标是(-2,2),它是抛物线 $ y= ax^{2}(a≠0) $上的一个点,那么下列在该抛物线上的棋子是(B).


A.帅
B.卒
C.炮
D.仕

答案： B [解析]
∵“马”的坐标是(-2,2),抛物线y=ax²(a≠0)的对称轴为y轴,“马”是抛物线y=ax²(a≠0)上的一个点,
∴根据抛物线的对称性得出“卒”在该抛物线上.故选B.

8. (2025·广东肇庆期末)函数 $ y= ax^{2} $与 $ y= -x-a $的图象可能是(C).

答案： C [解析]当a＞0时,-a＜0,二次函数开口向上,一次函数过二、三、四象限,当a＜0时,-a＞0,二次函数开口向下,一次函数过一、二、四象限,所以C正确.故选C.

9. (2024·武威二模)如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线 $ y= ax^{2} $上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90度得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为______.

($\sqrt{2}$,2)

答案： ($\sqrt{2}$,2) [解析]
∵Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax²上,
∴4=4a,解得a=1,
∴抛物线表达式为y=x².
∵点A的坐标为(-2,4),
∴点B的坐标为(-2,0),
∴OB=2.
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD,
∴点D在y轴上,且OD=OB=2,
∴D(0,2).
∵DC⊥OD,
∴DC//x轴,
∴点P的纵坐标为2.将y=2代入y=x²,得2=x²,解得x=±$\sqrt{2}$.
∵点P在第一象限,
∴点P的坐标为($\sqrt{2}$,2).

10. 如图,四边形ABCO是正方形,顶点B在抛物线 $ y= ax^{2}(a＜0) $的图象上,若正方形ABCO的边长为$ \sqrt{2} $,且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°,则a的值是______.

答案：
-$\sqrt{3}$ [解析]如图,连结OB,过点B作BD⊥y轴于点D,则∠BDO=90°.由题意,得∠BOC=45°.
∵∠COD=15°,
∴∠BOD=45°-15°=30°.
∵正方形OABC的边长为$\sqrt{2}$,
∴OB=$\sqrt{OA²+AB²}$=2,
∴在Rt△OBD中,BD=$\frac{1}{2}$OB=1,
∴OD=$\sqrt{OB²-BD²}$=$\sqrt{2²-1²}$=$\sqrt{3}$,
∴点B的坐标为(-1,-$\sqrt{3}$).将点B的坐标代入y=ax²(a＜0),得a=-$\sqrt{3}$.

11. 中考新考法 归纳一般结论 如图,抛物线的表达式为 $ y= x^{2} $,点$ A_{1} $的坐标为(1,1),连结$ OA_{1} $;过点$ A_{1} 作 A_{1}B_{1}⊥OA_{1} $,分别交y轴、抛物线于点$ P_{1} $,$ B_{1} $,过点$ B_{1} 作 B_{1}A_{2}⊥A_{1}B_{1} $,分别交y轴、抛物线于点$ P_{2} $,$ A_{2} $;过点$ A_{2} 作 A_{2}B_{2}⊥B_{1}A_{2} $,分别交y轴、抛物线于点$ P_{3} $,$ B_{2} $;…,按照如此规律进行下去,则点$ P_{n} $(n为正整数)的坐标是______(0,n²+n).

答案： (0,n²+n) [解析]
∵点A₁的坐标为(1,1),
∴直线OA₁的表达式为y=x.
∵A₁B₁⊥OA₁,
∴OP₁=2,
∴P₁(0,2).设直线A₁P₁的表达式为y=kx+b₁,
∴$\begin{cases}k + b₁ = 1\\b₁ = 2\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -1\\b₁ = 2\end{cases}$,
∴直线A₁P₁的表达式为y=-x+2.联立$\begin{cases}y = -x + 2\\y = x²\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = -2\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$,
∴B₁(-2,4).由题可知B₁P₂//OA₁,设直线B₁P₂的表达式为y=x+b₂,
∴-2+b₂=4,
∴b₂=6,
∴P₂(0,6).联立$\begin{cases}y = x + 6\\y = x²\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = -2\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 3\\y = 9\end{cases}$,
∴A₂(3,9).设直线A₂P₃的表达式为y=-x+b₃,
∴-3+b₃=9,
∴b₃=12,
∴P₃(0,12),…,
∴Pₙ(0,n²+n).