《2025年实验班提优训练九年级数学上册浙教版》

12. (2025·温州鹿城区期末)综合实践:测量拱形门建筑的高度.
素材:如图(1)是一个抛物线形状的拱形门建筑,某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度. 如图(2)是其正面示意图,设该拱形门与地面的交点为 A,B,且 AB= 20 m. 在点 A 右侧 1 m 的点 C 处,测得拱形门上点 D 到地面的距离 CD 为 3.8 m.
任务 1:请在图(2)中建立合适的平面直角坐标系,并求出抛物线的函数表达式；
任务 2:求出拱形门建筑最高点到地面的距离.

答案：
(1)如图,以AB所在的直线为x轴，点A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y=ax²+bx(a≠0),把点B(20,0),D(1,3.8)代入，得$\left\{\begin{array}{l} 400a+20b=0,\\ a+b=3.8,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-0.2,\\ b=4,\end{array}\right. $
∴抛物线的函数表达式为y=−0.2x²+4x.
(2)y=−0.2x²+4x=−0.2(x−10)²+20,
∴抛物线的顶点坐标为(10,20)，即拱形门建筑最高点到地面的距离为20米.

13. 新情境 修建花圃 (2025·台州温岭期末)如图(1),有两面互相垂直且长度均为 10 米的墙,现要建一个矩形花圃 ABCD,矩形两边由墙围成,另两边和中间隔离带用篱笆围成,篱笆总长 24 米,隔离带 EF,GH 均与接触的墙垂直.
(1)若矩形花圃 ABCD 的面积为 32 平方米,求 AB 长；
(2)求能围成的矩形花圃 ABCD 的最大面积；
(3)因种植需要,仍利用 24 米的篱笆将花圃重建成如图(2)所示的矩形花圃,求能围成的矩形花圃 ABCD 的最大面积.

答案：
(1)设AB=x米,则x·$\frac{1}{2}$(24−2x)=32,解得x=4或x=8,
∴AB=4米或8米.
(2)设矩形ABCD的面积为y平方米,AB=x米，则y=x·$\frac{1}{2}$(24−2x)=−x²+12x=−(x−6)²+36.由题意，$\left\{\begin{array}{l} x≤10,\\ \frac{1}{2}(24-2x)≤10\end{array}\right. $解得2≤x≤10,
∴当x=6时，y有最大值，为36平方米.
(3)设矩形ABCD的面积为y平方米，AB=x米，则y=x(24−2x)=−2x²+24x=−2(x−6)²+72.
∵$\left\{\begin{array}{l} x≤10,\\ 24-2x≤10\end{array}\right. $解得7≤x≤10,
∵−2＜0,
∴当x＞6时,y随x的增大而减小，
∴当x=7时，y取最大值，为70平方米.

14. (2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙 AB⊥CD 于点 O(如图),其中 AB 上的 EO 段围墙空缺. 同学们测得 AE= 6.6 m,OE= 1.4 m,OB= 6 m,OC= 5 m,OD= 3 m,班长买来可切断的围栏 16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是$46.4m^2.$

答案： 46.4　[解析]设矩形菜地在射线OA上的一段长为xm.①当x≤8时,S=x·$\frac{16-x-1.4+5}{2}$=−$\frac{1}{2}$x²+9.8x=−$\frac{1}{2}$(x−9.8)²+48.02,当x=8时,S最大，最大面积为46.4m²;②当x＞8时,S=x·($\frac{16+6.6+5}{2}$−x)=−x²+13.8x=−(x−6.9)²+47.61,由于在x＞8的范围内,S均小于46.4.所以由①②得最大面积为46.4m².