《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

15. (2025·上海宝山模拟)某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组、中年组和老年组，随机调查了$200$名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取$1$人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取$1$人，记$X$为这$3$人中愿意购买第二款新品的人数，求$X$的分布列和数学期望$E(X)$；
(3)用“$\xi_{i} = 1(i = 1,2,3)$”表示顾客愿意购买第$i$款新品，“$\xi_{i} = 0(i = 1,2,3)$”表示顾客不愿意购买第$i$款新品.写出方差$D(\xi_{1})$，$D(\xi_{2})$，$D(\xi_{3})$的大小关系并说明理由.

答案： 15.解：
(1)由表格中的数据结合古典概型的概率公式可知， 从顾客中随机抽取$1$人，估计该名顾客愿意购买第一款新品 的概率为$\frac{40 + 80 + 20}{200}=\frac{7}{10}$.\n
(2)在三个不同年龄组的顾客中各随机抽取$1$人，青少年组、 中年组、老年组的顾客愿意购买第二款新品的概率分别为 $\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{4}$. 由题意可知，随机变量$X$的可能取值为$0$，$1$，$2$，$3$， 所以$P(X = 0)=\frac{1}{2}×\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$， $P(X = 1)=\frac{1}{2}×\frac{2}{5}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{3}{5}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{5}×\frac{3}{4}$ $=\frac{11}{40}$， $P(X = 2)=\frac{1}{2}×\frac{3}{5}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{5}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{3}{5}×\frac{1}{4}$ $=\frac{9}{20}$，$P(X = 3)=\frac{1}{2}×\frac{3}{5}×\frac{3}{4}=\frac{9}{40}$. 所以随机变量$X$的分布列为 $X$ $0$ $1$ $2$ $3$ $P$ $\frac{1}{20}$ $\frac{11}{40}$ $\frac{9}{20}$ $\frac{9}{40}$ 故随机变量$X$的期望为$E(X)=0×\frac{1}{20}+1×\frac{11}{40}+2×\frac{9}{20}+$ $3×\frac{9}{40}=\frac{37}{20}$.\n
(3)$D(\xi_2)＞D(\xi_1)=D(\xi_3)$.理由如下： 用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第一款新品的概率 为$\frac{40 + 80 + 20}{200}=\frac{7}{10}$， 顾客愿意购买第二款新品的概率为$\frac{30 + 60 + 30}{200}=\frac{3}{5}$， 顾客愿意购买第三款新品的概率为$\frac{50 + 80 + 10}{200}=\frac{7}{10}$. 所以$E(\xi_1)=E(\xi_3)=1×\frac{7}{10}+0×(1 - \frac{7}{10})=\frac{7}{10}$， $E(\xi_2)=1×\frac{3}{5}+0×(1 - \frac{3}{5})=\frac{3}{5}$. 所以$D(\xi_1)=D(\xi_3)=(\frac{7}{10}-1)^2×\frac{7}{10}+(\frac{7}{10}-0)^2×(1 -$ $\frac{7}{10})=0.21$， $D(\xi_2)=(\frac{3}{5}-1)^2×\frac{3}{5}+(\frac{3}{5}-0)^2×(1 - \frac{3}{5})=0.24$. 所以$D(\xi_2)＞D(\xi_1)=D(\xi_3)$.

16. (2025·江苏南京模拟)某地举行中学生科技知识挑战赛，挑战赛分预赛和决赛两个阶段，预赛为闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次，如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛阶段比赛胜利，无需继续闯关，进入决赛.决赛设置了$3$个问题，每完整答对$1$个问题，该队决赛成绩记$3$分，否则记$0$分，未进入决赛的参赛队决赛成绩记$0$分.已知华夏队的甲、乙、丙三名选手在预赛闯关阶段以及决赛阶段每次完整答对$1$个问题的概率均为$p$，$q$，$r(0 ＜ r ＜ p ＜ q ＜ 1)$，每次回答是独立的，$Y$表示华夏队的决赛总成绩.
(1)若$p = \frac{2}{3}$，$q = \frac{3}{4}$，$r = \frac{1}{2}$，依次派甲、乙、丙进行闯关，求该小组进入决赛的概率；
(2)预赛阶段，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出；
(3)决赛阶段，若只能选出一人参加比赛，当$E(Y)$最大时，决赛阶段应由哪个选手参加？

答案： 16.解：
(1)依次派甲、乙、丙进行闯关时，设事件$A$表示“该小组 进入决赛”，则$P(A)=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{23}{24}$， 则该小组进入决赛的概率为$\frac{23}{24}$.\n
(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，设派出人员的数目为$X$，期 望为$E_1$，依次派丙、乙、甲进行闯关，设派出人员数目的期望 为$E_2$， $X$ $1$ $2$ $3$ $P$ $p$ $(1 - p)q$ $(1 - p)(1 - q)$ 所以$E_1 = pq - 2p - q + 3$. 同理$E_2 = rq - 2r - q + 3$， 则$E_1 - E_2 = pq - 2p - q + 3 - (rq - 2r - q + 3)=(p - r)(q$ $-2)$. 因为$0＜r＜p＜q＜1$，所以$E_1 - E_2＜0$，即$E_1＜E_2$. 所以要使派出人员数目的期望较小，应先派出甲.\n
(3)若甲、乙、丙三人分别参加决赛，决赛阶段答对的题目个 数分别为$\eta_1$，$\eta_2$，$\eta_3$，得分分别为$Y_1$，$Y_2$，$Y_3$， 则$\eta_1\sim B(3,p)$，$\eta_2\sim B(3,q)$，$\eta_3\sim B(3,r)$. 所以$E(\eta_1)=3p$，$E(Y_1)=E(3\eta_1)=9p$， 同理$E(Y_2)=9q$，$E(Y_3)=9r$. 因为$0＜r＜p＜q＜1$，所以$E(Y_2)＞E(Y_1)＞E(Y_3)$. 所以决赛阶段应由乙选手参加.