《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

14. 电视台有 8 个节目准备分两天播出，每天播出 4 个，其中某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，某谈话节目必须在第二天播出，共有多少种播出方案？分步乘法计数原理：$ C_{5}^{2}A_{4}^{4} · C_{3}^{3}A_{4}^{4} $。
归纳总结
解决先选后排问题时，应遵循三大原则：
(1)先特殊后一般；
(2)先组合后排列；
(3)先分类后分步。
角度二 不同元素分组、分配问题

答案： 14.解:8个节目中有3个有限制条件，即有5个无限制条件。某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，则需在5个无限制条件的节目中选出2个安排在第一天播出，某谈话节目和剩下的3个节目在第二天播出，因此分两步计数。第一步，从无限制条件的5个节目中选出2个连同某电视剧和某专题报道在第一天播出，有A₂²A₅²种播出方案；第二步，某谈话节目和剩余的3个节目在第二天播出，有A₄⁴种播出方案。根据分步乘法计数原理，播出方案共有A₂²·A₅²·A₄⁴ = 5760(种)。

15. (2025·安徽合肥模拟)发展素质教育，促进教育公平，现有甲、乙等 6 名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教。若将这 6 名大学生分成三组分别去三个不同的学校参加工作，保证每所学校至少有一名大学生去，且每名大学生只能去一所学校，则甲、乙不在同一个学校的安排方案共有390种。(用数字作答)

答案： 15.390解析:利用间接法:将这6名大学生分成三组，每组的人数分别为2,2,2或3,2,1或4,1,1，分以下几种情况讨论:
(1)若三组人数分别为2,2,2，且甲、乙不在同一组，其反面是甲、乙在同一组，此时，不同的安排方案种数为(C₆²C₄² - C₄²)A₃³ = (15 - 3)×6 = 72(种)；
(2)若三组人数分别为4,1,1，且甲、乙不在同一组，其反面是甲、乙在同一组，此时，不同的安排方案种数为(C₆⁴ - C₄⁴)A₃³ = (15 - 6)×6 = 54(种)；
(3)若三组人数分别为3,2,1，且甲、乙不在同一组，其反面是甲、乙所在的一组有2人或3人，此时，不同的安排方案种数为(C₆³C₃² - C₄²C₂² - C₄³)A₃³ = (60 - 4 - 12)×6 = 44×6 = 264(种)。
综上所述，由分类加法计数原理可知，不同的安排方案共有72 + 54 + 264 = 390(种)。

16. 有 9 本不同的书，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人 3 本；每人 3 本，$ C_{9}^{3}C_{6}^{3}C_{3}^{3} $。
(2)分为三组，每组 3 本；均分 不均分
(3)分为三组，一组 2 本，一组 3 本，一组 4 本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人 2 本，一人 3 本，一人 4 本；部分均分 先分组，再分配。
(5)分为三组，一组 5 本，另外两组每组 2 本；
(6)分给甲、乙、丙三人，其中甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本；人取书，依次为 $ C_{9}^{2}C_{7}^{3}C_{4}^{4} $。
(7)分给甲、乙、丙三人，其中甲 4 本，另外两人中有一人 2 本，一人 3 本；
(8)分给甲、乙、丙三人，其中甲 5 本，另外两人每人 2 本；甲取 5 本 $ C_{9}^{5} $，乙取 2 本 $ C_{4}^{2} $，丙取 2 本 $ C_{2}^{2} $，共 $ C_{9}^{5}C_{4}^{2}C_{2}^{2} $ 种。
(9)分给甲、乙、丙三人，其中一人 5 本，另外两人每人 2 本。先分组 $ \frac{C_{9}^{5}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}} $，再分配 $ A_{3}^{3} $。

答案： 16.解:
(1)这是均匀编号分组问题。第一步，从9本书中选3本给甲，有C₉³种选法；第二步，再从其余的6本书中选3本给乙，有C₆³种选法；第三步，从余下的3本书中选3本给丙，有C₃³种选法。根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有C₉³C₆³C₃³ = 1680(种)。
(2)这是均匀不编号分组问题。将9本书平均放入1号箱、2号箱、3号箱。先放1号箱，有C₉³种放法；再放2号箱，有C₆³种放法；最后把剩下的3本放入3号箱，有C₃³种放法。因此共有C₉³C₆³C₃³种放法。由于这3个箱子现在是有序的，而装的书本数是一样的，因此会出现重复的分法，应用倍缩法，重复的是3个箱子的排列顺序，应除以箱子的全排列数，即C₉³C₆³C₃³÷A₃³ = 280(种)。故共有280种不同的分配方法。
(3)这是非均匀不编号分组问题。同
(2)中思路，放入3个箱子共C₉³C₆⁴ = 1260(种)放法。由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书本数都不同，因此不会出现重复的分法，所以共有1260种不同的分配方法。
(4)这是非均匀编号分组问题。在
(3)的基础上再进行全排列，所以不同的分配方法共有C₉³C₆³A₃³ = 7560(种)。
(5)这是部分均匀不编号分组问题。同
(2)中思路，放入3个箱子共C₉³C₃²种放法。这次同样不是平均分配，但恰有2个箱子装的书本数一样，因此是“局部平均”，也会出现重复的分法，重复的是同样装着2本书的2个箱子的排列顺序，因此应除以这2个箱子的全排列数，即C₉³C₃²÷A₂² = 378(种)。故共有378种不同的分配方法。
(6)这是直接分配问题。由于甲、乙、丙的书本数已知，先给甲选书，有C₉³种选法，再给乙选书，有C₆³种选法，剩下的4本给丙，故不同的分配方法共有C₉³C₆³ = 1260(种)。
(7)这是直接分配问题。由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C₉³种选法，再把剩下的5本书分成本数分别为2,3的两份，有C₅²种分法，把分好的两份书分给乙、丙两人，有A₂²种分法。根据分步乘法计数原理，可得不同的分配方法共有C₉³C₅²A₂² = 2520(种)。
(8)这是直接分配问题。由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C₉³种选法，再把剩下的4本书平均分给乙、丙，有C₄²种方法，故不同的分配方法共有C₉³C₄² = 756(种)。
(9)这是部分均匀编号分组问题。在
(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三人，不同的分配方法共有$\frac{C₉³C₃²C₂²}{A₂²}$·A₃³ = 2268(种)。