《2025年星推荐涂教材高中数学选择性必修第三册人教版》

13. (2025·广东汕头模拟)一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生的考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用 $ 300 $ 人，其中 $ 275 $ 个高薪职位和 $ 25 $ 个普薪职位.实际报名人数为 $ 2000 $ 名，考试满分为 $ 400 $ 分.记考生的成绩为 $ X $，且 $ X～N(μ,σ^{2}) $，已知所有考生考试的平均成绩 $ μ=180 $，且 $ 360 $ 分及其以上的高分考生有 $ 30 $ 名.
(1)求 $ σ $ 的值.(结果保留为整数)
(2)该单位的最低录取分数约是多少？(结果保留为整数)
(3)考生甲的成绩为 $ 286 $ 分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由.
参考资料：①当 $ X～N(μ,σ^{2}) $ 时，令 $ Y=\frac{X - μ}{σ} $，则 $ Y～N(0,1) $.
②当 $ Y～N(0,1) $，$ P(Y≤2.17)≈0.985 $，$ P(Y≤1.28)≈0.900 $，$ P(Y≤1.09)≈0.863 $，$ P(Y≤1.04)≈0.85 $.

答案： 13.解：
(1)依题意$X\sim N(180,\sigma^{2})$，令$Y=\frac{X-180}{\sigma}$，
则$Y\sim N(0,1)$，所以可得$P(X\geq360)=\frac{30}{2000}=\frac{3}{200}$，$P(X＜360)=1-\frac{3}{200}=0.985$，$P(Y＜\frac{360-180}{\sigma})\approx0.985$.
又因为$P(Y＜2.17)\approx0.985$，则$\frac{360-180}{\sigma}=2.17$，
解得$\sigma\approx83$.
(2)由
(1)可得$X\sim N(180,83^{2})$，
设最低录取分数为$x_{0}$，则$P(X\geq x_{0})=P(Y\geq\frac{x_{0}-180}{83})=\frac{300}{2000}=\frac{3}{20}$，$P(Y＜\frac{x_{0}-180}{83})=1-\frac{3}{20}\approx0.85$，因为$P(Y\leq1.04)\approx0.85$，
所以$\frac{x_{0}-180}{83}=1.04$，所以$x_{0}=266.32$，
所以该单位的最低录取分数约是267分.
(3)考生甲的成绩为286分$＞267$分，
所以甲能被录取的概率为$P(X＜286)=P(Y＜\frac{286-180}{83})=P(Y＜1.28)\approx0.900$.
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的$1-0.900=0.100$，约有$2000×0.100=200$，
即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以甲能获得高薪职位.

14. (2025·山东潍坊模拟)某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了 $ 200 $ 名学生的每周阅读时间 $ X $(单位：时)并绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)求这 $ 200 $ 名学生每周阅读时间的样本平均数 $ \overline{x} $ 和样本方差 $ s^{2} $(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)由频率分布直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间 $ X $ 大致服从正态分布 $ N(μ,σ^{2}) $，其中 $ μ $ 近似为样本平均数 $ \overline{x} $，$ σ^{2} $ 近似为样本方差 $ s^{2} $.
①一般正态分布 $ N(μ,σ^{2}) $ 的概率都可以转化为标准正态分布 $ N(0,1) $ 的概率进行计算：若 $ X～N(μ,σ^{2}) $，令 $ Y=\frac{X - μ}{σ} $，则 $ Y～N(0,1) $，且 $ P(X≤a)=P(Y≤\frac{a - μ}{σ}) $.利用频率分布直方图得到的正态分布求 $ P(X≤10) $；
②从该高校的学生中随机抽取 $ 20 $ 名，记 $ Z $ 表示这 $ 20 $ 名学生中每周阅读时间超过 $ 10 $ 小时的人数，求 $ Z $ 的均值.
参考数据：$ \sqrt{178}≈\frac{40}{3} $，若 $ Y～N(0,1) $，则 $ P(Y≤0.75)=0.7734 $.

答案： 14.解：
(1)根据频率分布直方图知，阅读时间在区间$[5.5,6.5)$，$[6.5,7.5)$，$[7.5,8.5)$，$[8.5,9.5)$，$[9.5,10.5)$，$[10.5,11.5)$，$[11.5,12.5]$内的频率分别为0.03，0.1，0.2，0.35，0.19，0.09，0.04，
则$\bar{x}=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9$，
$s^{2}=(6-9)^{2}×0.03+(7-9)^{2}×0.1+(8-9)^{2}×0.2+(9-9)^{2}×0.35+(10-9)^{2}×0.19+(11-9)^{2}×0.09+(12-9)^{2}×0.04=1.78$，
所以样本平均数$\bar{x}$和样本方差$s^{2}$分别为9，1.78.
(2)①由题意知$\mu=9$，$\sigma^{2}=1.78$，
则有$X\sim N(9,1.78)$，
$\sigma=\sqrt{1.78}=\frac{\sqrt{178}}{10}\approx\frac{4}{3}$，
所以$P(X\leq10)\approx P(Y\leq\frac{10-9}{\frac{4}{3}})=P(Y\leq0.75)=0.7734$。
②由①知$P(X＞10)=1-P(X\leq10)\approx0.2266$，
可得$Z\sim B(20,0.2266)$，
所以Z的均值$\mathbb{E}(Z)\approx20×0.2266=4.532$。